Многогранники. Задачи

1. Решение задач по теме «Многогранники»

2.

Задача 1. Высота правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 16 см. Сторона ее
основания - 15 см. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, содержащей
прямую A1B1 и середину ребра DD1.
А1
В1
D1
N
Найти:
PA1B1MN
Решение:
С1
17
A
M
16
B
15
D
C
1) Т.к. дана правильная призма, то в
основании квадрат, а боковые грани – равные
прямоугольники.
2) Проведем через точку N прямую || A1B1,
значит точка М – тоже середина ребра.
3) A1B1 перпендикулярна грани DAA1D1,
значит перпендикулярна и NA1, тогда
A1B1MN – прямоугольник.
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник С1B1M.
B1M 152 82 225 64 289 17см
5) Найдем периметр:
PA1B1MN (15 17)·2 64 см

3.

Задача 2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см. Радиус
окружности, описанной около ее основания - 8 3 см. Вычислите:
а) длину бокового ребра пирамиды;
б) площадь боковой поверхности пирамиды.
S бок
1
Pl
2
a
2R
sin
Найти: а) DA, б) Sбок
D
Решение:
16
?
16
8
AD (8 3) 2 82 64·3 64 64·4 16см
R
A
8 3
а) Т.к. дана правильная треугольная пирамида, то в
основании правильный треугольник, а высота проведена в
центр треугольника (центр описанной около него окружности).
C Рассмотрим прямоугольный треугольник DOA:
24
O
K
B
б) Найдем сторону треугольника AВС :
a 2 R sin 2 8 3 sin 600 2 8 3
3
24см
2
Проведем апофему DK и рассмотрим прямоугольный треугольник DСК:
DK 16 2 12 2 (16 12)(16 12) 4 28 4 7см
Найдем площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды:
S бок
1
1
Pl 3 24 4 7 144 7см 2
2
2

4.

Задача 3. Основанием пирамиды MKPNT является квадрат, сторона которого
равна 24 см. Боковое ребро MK перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
Угол между плоскостями основания и грани MTN равен 450. Вычислите:
а) расстояние от вершины пирамиды до прямой PT;
б) площадь полной поверхности пирамиды.
M
24
P
Решение:
а) Рассмотрим прямоугольный треугольник MKT:
т.к. угол 45 градусов, то КТ=МК=24 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ТКО:
K х 2 х 2 242
24
х 24 12 12 2
МО 242 (12 2 )2 24 24 24 12 24 36 12 6см
45 0
T
б) Найдем Sпол = Sосн+ 2SМТК + 2SМТN
Найдем МТ из прямоугольного
треугольника МКТ:
K
P
2 х 2 24 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник МКО:
12 2
О
N
Найти: а) МО; б) Sпол
МТ 24 2 24 2 2 24 2 24 2
х
1
1
2
24
S пол 24
24
2
24
24
2
24
24
2
2
24
24
24
24
2
576
(
2
2
)
см
О
2
2
х
N
T

5.

Ответы к работе за 20 мая:
1) 54 см
2 ) а )2 34см;
3) а )18см;
б )240см 2
б )162(1 2 2 )см 2