Тема. Численное интегрирование функций
Численное интегрирование функций
Вероятностные (статистические) методы
Вероятностные (статистические) методы
Методы с подбором узлов
Интегрирование интерполирующих полиномов
Интегрирование интерполирующих полиномов
Интегрирование интерполирующих полиномов
Формула левосторонних прямоугольников
Формула левосторонних прямоугольников
Формула правосторонних прямоугольников
Формула правосторонних прямоугольников
Формула центральных прямоугольников
Формула трапеций
Формула трапеций
Формула трапеций
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы
Коэффициенты Ньютона-Котеса
Коэффициенты Ньютона-Котеса
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
807.00K
Категория: МатематикаМатематика

Лекция 6. Численное интегрирование функций

Тема.

Численное интегрирование функций Решаемые задачи:

• вычисление объемов тел;

• вычисление площадей фигур;

• вычисление длин кривых;

• и т.д.

Численное интегрирование функций Подходы:

• замена исходной функцииf(x) (заданной таблично или аналитически) интерполирующим полиномомP(x) с известной первообразной;

• подбор оптимальных узлов интегрирования при аналитически заданной функцииf(x);

• вероятностные или статистические методы.

Вероятностные (статистические) методы Пример: задан шар Соотношение объёмов шара и куба, в который вписан шар: 2222iii xyzR ++≤КШVNVM≈ Вероятностные (статистические) методы В пределе ТогдаlimКNШVNMV →∞=3388KШM VRVRN =⇒=× Методы с подбором узлов На отрезке [–1,1] При переходе к отрезку[a,b] имеем ()()1niii Iftdtcft=−′==∑∫()1,2bniiiaba Ifxdxcfx=−==∑∫.22ii babaxt +−=+ Интегрирование интерполирующих полиномов При заменеf(x) интерполирующим полиномом() ()()() ()()()()1110010,,1 ,,,0,1,..., ipipipnipxxp iiiijijjxxxbxmmiiaxxp iijijipipi IfxdxPxdxPxcxn IIfxdxPxdxmp fxPxcxxxximϕ+++====+= =≈= ==≈=−  ≈=∈= ∑ ∫∫ ∑∑ ∫∫∑ Интегрирование интерполирующих полиномов При заменеf(x) интерполирующим полиномом()10,1ipxppmmx ijijijijx ijijxmi IcxdxcxdxnImpϕ+ ===== ==Φ= ==− ∑∑∑∑∫∑ Интегрирование интерполирующих полиномов Формулы прямоугольников:

• левосторонних;

• правосторонних;

• центральных.xixi12iixx+yiyi12iixxf+  ÷  Формула левосторонних прямоугольников На отрезке[xi,xi+1] полагаемp =1,Pi(x) =yi.

Получаем: Для равномерной сетки()1011001,nixnnxiiixiix iiii Ifxdxyxyh hxxx+ −−==+ =≈= =∆=− ∑∑∫()010nxnix Ifxdxhy−= =≈∑∫ Формула левосторонних прямоугольниковyx… a = x0x1x2x3xn –1xn = by0y1y2yn –1 Формула правосторонних прямоугольников На отрезке[xi,xi+1] полагаемp =1,Pi(x) =yi+1.

Получаем: Для равномерной сетки()1011001,nixnnxiiixiix iiii Ifxdxyxyh hxxx+ −−++==+ =≈= =∆=− ∑∑∫()001nxnniix Ifxdxhyhy−+== =≈= ∑∑∫ Формула правосторонних прямоугольниковyx… a = x0x1x2x3x n–1y3y1y2ynxn = b Формула центральных прямоугольников На отрезке[xi,xi+1] полагаемp =1, Получаем:()10110022nixnnx iiiiixiix xxxx Ifxdxfxfh+ −−++==++  =≈= ÷÷  ∑∑∫()0102nxniiixxx Ifxdxhf−+=+  =≈ ÷ ∑∫()12iiixxPxf+ = ÷  Формула трапеций На отрезке[xi,xi+1] полагаемp =1,()1iiiiiiyy Pxxxyh+− =−+()121212122iiiiiiixii iiiiiiixyy PxdxxxyxChyy IxxyxCyyhh+− =−++⇒ − ⇒=−++=+ ÷ ∫ Формула трапеций На отрезке[a,b] Для равномерной сетки()111 100110011122nnn iiiiiiinniii IIhyyyhyhhyh −−− +−−===  ==+=+++ ÷  ∑∑∑()111001222nn iiiniihh Iyyyyy −−+==  =+=++ ÷  ∑∑ Формула трапецийyx… a = x0x1x2x3x n–1y3y1y2ynxn = byn –1y0 Квадратурные формулы Вспомним формулу Выполним подстановку:() ()()110, ipipxxp iiiijijjxx IfxdxPxdxPxcxϕ++= =≈=∑ ∫∫()1(1)00ip ipipxpp iijijijijjjxx Icxdxcxdx ϕϕ+==  ÷ ≈= ÷  ∑∑ ∫∫ Квадратурные формулы Если предположить, чтоcij =yip+j⋅Cij , то гдеAij – квадратурные коэффициенты.

Тогда ()() (1)(1)0, ipipxxpp iijijipjijijjjxxp ijipjj IcxdxyCxdxAy ϕϕ+++==+=  ÷÷ ≈=×= ÷÷ = ∑∑ ∫∫∑000,1.pmm iijipjiijn IIAymp+=== ===− ∑∑∑ Квадратурные формулы ЕслиPi(x) =Lp,i(x) , т.е.

то ()(),0,pipk ppiipjjk ipjipkkjxx PxLxyxx+=++≠ − ÷== ÷− ÷ ∑∏()001,.pp ijijipkkk ipjipk kjkj Cxxxxxϕ+==++ ≠≠ ==−− ∏∏ Квадратурные формулы Тогда Дляp= 1 имеем:() (1)(1)001 ipipxxpp ijijijipkjj ipjipkxx jkjk ACxdxxxdxxxϕ+++==++ ≠≠ ==−− ∏∏ ∫∫ ()()1 11,111iiiii iiii xxxx PxLxyy xxxx+++ −−==+ −− ()() 0101111,,, iiiiii iiii CCxxxxxx xxxx ϕϕ+++ ===−=− −− Квадратурные формулы Интегрируем:()12121221112110;22110222ixiiiiiixiiiiiiiixiiiiiixxx Axxdxxxhxxh Axxdxhxx xxxxhhh+− =−=−=− − =−−==−= ÷−   −− ==−= ÷ ∫ Квадратурные формулы В итоге Получили формулу трапеций.()11,222iii iiiiihhh Iyyyy++ =+=+()10012mn iiiiii IIhyy−+====+ ∑∑11,1nmn =−== Квадратурные формулы Дляp= 2 имеем: ()() 2122 22,2 221222 222221 2122 21221222222221ii iiiiii iiiiiiii xxxx PxLxy xxxx xxxxxxxxyy xxxxxxxx++ ++++++ −−==+ −− −−−−++ −−−− ()() ()()() ()() ()()() ()() ()()() 002122 221222 11222 2122122 21221 22222211,,1,,1,, iiii Cxxxxx xxxx Cxxxxx xxxx Cxxxxx xxxxϕ++++++++++ ==−− −− ==−− −− ==−− −− Квадратурные формулы Интегрируем: и т.д.

()()()222222 02122 2212222 21222122 22122122212126ixiii iiiix iiiiiiixiii Axxxxdx xxxx xxxxxxdxhhhhhh+++ +++++ =−−= −− =−++= −−−+ =−∫ Квадратурные формулы В итоге получим: Это формула Симпсона: ()()() ()()3 21222121201 2212 2122122212,,6626 iiiiiiiiiii iiiii hhhhhhAAhhh hhhhAh+++++++ +−+== +−= ()()(())2212 21221221221212 221222262ii iiiiiiiiii iiiihh Ihhhyhhyhh hhhy+ ++++++++ =−+++ +− Квадратурные формулы Для отрезка[a,b] ()()(())2212 212212212210212 221222262,12mii iiiiiiiiii iiiihh Ihhhyhhyhhn hhhym+ ++++=++++ =−+++ +−=−∑ Квадратурные формулы Если сетка равномерная, то т.е.

коэффициентыAj не зависят от индексаi .

Для отрезка[a,b]000,1.pmm ijipjiijn IIhAymp+=== ===− ∑∑∑()110.

ipipipxp iipjipjjxip IPqdxhPqdqhAy+++====∑ ∫∫ Квадратурные формулы Интерполирующий полином т.е.

()()()()01!!ppjjppjkkjy PqLqqkjpj−=≠  ÷ ==−− ÷− ÷ ∑∏() ()()01,!!pjpjjkkj Cqqkjpjϕ−=≠− ==−−∏ Квадратурные формулы Тогда()001!!ppjpjjjkkj ACqdqqkdqjpjϕ−=≠− ==−−∏ ∫∫ Коэффициенты Ньютона- Котеса В случае равномерной сетки положим ЗдесьHi – коэффициенты Ньютона- Котеса .

Т.е.1.jjHAp=()01!!pjpjkkj Hqkdq pjpj−=≠− =−−∏∫ Коэффициенты Ньютона- Котеса Свойства коэффициентов Ньютона- Котеса:01);

2)1.jpjpjHHH−=∑ Примерыn = 6i 0123456x 01/91/419/449y 01/31/213/223 012345 111151395 0;;1;1;

994936444497 4;94544 hhhhhh =−==−==−==−= =−==−= Примеры Левосторонние прямоугольники:i 0123456x 01/91/419/449y 01/31/213/223h 1/95/363/45/47/4550 11513537 0125 933624424386 14.296327iiiIyh= ==×+×+×+×+×+×= =≈∑ Примеры Правосторонние прямоугольники:i 0123456x 01/91/419/449y 01/31/213/223h 1/95/363/45/47/45510 11153357 1235 392364244 2293 21.2315108iiiIyh+= ==×+×+×+×+×+×= =≈∑ Примеры Трапеции:i 0123456x 01/91/419/449y 01/31/213/223h 1/95/363/45/47/45()510 11115113101 2293363242 53731297 1252317.7639 424372iiii Ihyy+=  =+=×++×++×++ ÷÷÷   ×++×++×+=≈ ÷÷÷ ∑ Примеры Формула Симпсона:i 0123456x 01/91/419/449y 01/31/213/223h 1/95/363/45/47/45 ()()(())2212 212212212210212 22122226 53619515220 65361936936 51115112 369393692ii iiiiiiiiii iiiihh Ihhhyhhyhh hhhy+ ++++=++++ =−+++ +  +−=××−×+ ÷ ××   ++×+××−×+÷ ÷÷÷ ∑ Примеры Формула Симпсона:2 543453515321 65434444244 353357473 2525 4442657442 77791211 5225518.0974 4445040+  +××−×++×+ ÷÷ ××  +  +××−×+××−×+ ÷÷ ÷ ××    ++×+××−×=≈ ÷÷÷  Примеры Точность интегрирования:IδI ЛП 14.296320.6%I ПП 21.231517.9%IТ 17.76391.31%IС 18.09740.54%9018
English     Русский Правила