Иррациональные уравнения. Основы школьного курса математики

1.

Иррациональные уравнения
Основы школьного курса математики
2 курс, группа УМ-2-19
12.01.2021

2.

Повторение
Среди пар уравнений найдите пары
равносильных:
а )5 х 10 0 и х 2 0;
б ) х 5 и х 25;
2
в ) х 2 х 1 3 и | x 1 | 3;
2
г ) х 4 и х 1 0 .
2

3.

Повторение
Определите, какое из двух уравнений
является следствие другого:
а ) х 5 0 и х( х 5) 0;
б ) х 3 и х 25;
2
х 2 3х
2
в)
0 и х 3 х 0;
х
х 7
г)
0 и х 7 0.
х

4.

Повторение
• Арифметическим квадратным корнем из
числа а называется неотрицательное
число b, квадрат которого равен а
а b
, где
b ≥ 0,
2
если a=b

5.

Что общего в этих уравнениях?
у+
у 9 =2
2
х 1 = х-1
5 х 4 =2 + х

6.

Математика
Иррациональные уравнения

7.

Определение
Иррациональными называются
уравнения, в которых переменная
содержится под знаком корня
(радикала).
Примеры:
x 12 x 0,
3
x 1 x.

8.

План изучения темы
Иррациональные
уравнения
Определение
Простейшие
уравнения
Сложные
уравнения

9.

Какие из уравнений не являются
иррациональными?
а )5 х 3 х
б) 2х 7 2х
в) х 1 х 2 4
г) 5х х 2 0
2
д) х 7 8 0
е ) 3 х 6 6
3

10.

Идея решения
Основная идея решения иррационального уравнения
состоит
в
сведении
его
к
рациональному
алгебраическому уравнению, которое либо равносильно
исходному иррациональному уравнению, либо является
его следствием.
Главный способ избавиться от корня и получить
рациональное уравнение – возведение обеих частей
уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень,
содержащий неизвестное.

11.

Простейшие иррациональные
уравнения
f ( x) a
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)

12.

Запомни!
При возведении обеих частей уравнения
• в четную степень (показатель корня – четное
число) – возможно появление постороннего
корня (проверка необходима)
• в нечетную степень (показатель корня –
нечетное число) – получается уравнение,
равносильное исходному (проверка не нужна)

13.

Запомни!
Решая иррациональные уравнения с
помощью равносильных преобразований
(проверка не нужна)

14.

Решение уравнения
1) а<0, то
Пример:
2) а=0, то
Пример:
3) a>0, то
Пример:
f ( x) a
f ( x) aуравнение корней не имеет
2 х 5 3
f ( x ) 0 f ( x) 0
х 7 0 x 7 0 x 7
f ( x) a ( f ( x) )2 а2 f ( x) a2
9 х 10 9 х 100 х 91

15.

Решение уравнения
f ( x) g ( x)
3x 3 x 1
1 способ
2 способ
3x 3 x 1
3 х 3 ( х 1)
2
3х 3 х 2 2 х 1
х2 х 2 0
х1 1
х 2
2
проверка
при х 1
при х 2
ответ : 2
3 ( 1) 3 1 1
3 2 3 2 1
х 1 0
3x 3 x 1
2
3 х 3 ( х 1)
х 1
х1 1 ответ : 2
х 2
2

16.

Вывод
Уравнение вида
решается:
1) Возведением в квадрат
f ( x) gобеих
( x) частей
равенства с последующей проверкой;
1) Осуществляется переход к системе
равносильной данному уравнению, т.е.
f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x)
g ( x) 0.
2

17.

Решение уравнения
f ( x) g ( x)
х 3 5 х
1 способ
2 способ
х 3 5 х
х 3 5 х
2х 2
х 1
проверка
при х 1
ответ : 1
1 3 5 1
х х 33 00
х 3 5 х
х 3 5 х 5 х х 3 05 х
х 3 5 х
х 3
ответ : 1.
х х 13
х 5 ответ : 1.
х 1

18.

Вывод
f ( x) gрешается:
( x)
Уравнение вида
1) Возведением в квадрат обеих частей
равенства с последующей проверкой;
1) Осуществляется переход к системе
равносильной данному уравнению, т.е.
f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x)
f ( x) 0,
f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x)
g ( x) 0.

19.

I
III
II
IV

20.

Домашнее задание