ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В МЕТРОЛОГИИ ЧАСТЬ 2 А.Я. Карпенко
Основные законы распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Задание
Гистограмма равномерного закона распределения
Примеры равномерного закона распределения
Пример из ГОСТ 8.207
Нормальный закон распределения
График функции плотности нормального закона распределения
Нормированная случайная величина
Вопрос
Распределение 2
Функция плотности распределения
Пример распределения 2
Распределение Стъюдента
Функция плотности распределения
Пример
Распределение Фишера
Функция плотности распределения Фишера
Пример
Что такое выборка?
Показатели описательной статистики
Показатели рассеяния
Показатели формы
Квантиль
Квантиль Xα случайной величины, имеющей функцию распределения F(x)
Примеры решения прямой задачи в EXCEL
Примеры решения обратной задачи в EXCEL
762.50K
Категория: МатематикаМатематика

Основы математической статистики в метрологии. Часть 2

1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В МЕТРОЛОГИИ ЧАСТЬ 2 А.Я. Карпенко

15.06.2021
1

2. Основные законы распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Равномерный закон распределения
0, x a
1
f ( x)
,a x b
b a
0, x b
(b - a)
D(x)
12
15.06.2021
2
a b
M(x)
2
2

3. Задание

Выведите формулы для вычисления
дисперсии и математического
ожидания равномерного закона
распределения.
Для этого используйте определение
этих характеристик.
15.06.2021
3

4. Гистограмма равномерного закона распределения

15.06.2021
4

5. Примеры равномерного закона распределения

Погрешности прямых измерений
Погрешность округления.
Случайная составляющая погрешности
дискретного прибора при
незначительном разбросе измерений
(1-3 дискрета)
15.06.2021
5

6. Пример из ГОСТ 8.207

Оценку суммарного СКО результата измерения вычисляют
s
2
m
i
i 1
3
~
s ( A)
2
(b - a)
4
D( )
12
12
3
2
15.06.2021
2
2
6

7. Нормальный закон распределения

(x m
f ( x)
1
x 2
e
x
)
2
x2
2
N(mx,σx)
15.06.2021
7

8. График функции плотности нормального закона распределения

15.06.2021
8

9. Нормированная случайная величина

x mx
U
x
Задание:
Доказать, что для нормированной
случайной величины
M(u) = 0
2(u) = 1
15.06.2021
9

10. Вопрос

Пусть три случайные величины X,Y,Z имеют
нормальное распределение с известными
математическими ожиданиями и
дисперсиями (предположим, имеются три
измерительных канала температуры):
M(X)=50, D(X)=0,3 ,
M(Y)=70, D(Y)=0,5,
M(Z)=90, D(Z)=0,7
Постройте функции плотности
распределения f(x), f(y), f(z).
Постройте для них нормированные функции
плотности распределения.
15.06.2021
10

11. Распределение 2

Распределение 2
Пусть Z1, Z2 ... Z
независимые
нормированные случайные величины N(0,
1).
M(Z)=0, D(Z)=1
U
ν
i 1
2
Zi
- есть хи-квадрат ( 2 ) распределение с
параметром . Этот параметр
называется числом степеней свободы.
15.06.2021
11

12. Функция плотности распределения

15.06.2021
12

13. Пример распределения 2

Пример распределения 2
Оценка дисперсии по выборке
S x2 ˆ x2
S x2
2
x
1 n
2
(
x
m
)
ˆx
i
n 1 i 1
1
( xi x ) 2
n 1
x2
В дальнейшем будем
использовать эту статистику
15.06.2021
(n 1) S x2
2
x
( xi x ) 2
(n 1) S
x2
2
x
2
x
13

14. Распределение Стъюдента

Z → N(0,1), V → 2( )
Z,V – независимые
Z
t
V
M(t)=0
D(t)= / -2
случайная величина t (t-статистика) ,
- распределение Стъюдента
15.06.2021
14

15. Функция плотности распределения

15.06.2021
15

16. Пример

x x
В чем отличие
x
и
x x
Sx
x x
t
x x
S
2
x
x
(n 1) S
(n 1)
2
x
2
x
Z
V
(n 1)
Вопрос :
Приведите примеры использования распределения
Стъюдента в Ваших практических задачах.
15.06.2021
16

17. Распределение Фишера

Если U, V – независимые случайные величины,
U – имеет 2( 1) с 1 степенями свободы,
V - имеет 2( 2) с 2 степенями свободы
U
F
1
V
имеет распределение Фишера
с 1 и
2 степенями свободы
2
15.06.2021
17

18. Функция плотности распределения Фишера

15.06.2021
18

19. Пример

Проверяется гипотеза о равенстве дисперсий двух выборок
X: x1, x2, ..., xn
Y: y1, y2, ..., ym
Отношение двух выборочных нормированных дисперсий есть
распределение Фишера с n-1 и m-1 степенями свободы.
(n 1) S x2
U
x2 x2 (n 1)
n 1
F 2
V
Sy
(m 1) S y2
y2 y2 (m 1) m 1
S x2
Вопрос: Приведите примеры использования распределения Фишера в Ваших
практических задачах.
15.06.2021
19

20. Что такое выборка?

Выборкой называют
последовательность независимых
одинаково распределенных случайных
величин.
- случайная величина
x1, x2, …, xn – выборка
15.06.2021
20

21. Показатели описательной статистики

Показатели положения (относительно среднего)
среднее арифметическое
1 n
X mˆ x xi
n i 1
среднее геометрическое
x G n x1 x 2 ... x n
медиана P(x M) = P(x M) = 1/2
мода - положение max
15.06.2021
21

22. Показатели рассеяния

Дисперсия
n
1
2
2
ˆ
S x D( x)
( xi mˆ x )
n 1 i 1
Стандартное отклонение
Размах
S x ˆ x Dˆ ( x)
xmax – xmin
Межквартальный размах – 50% выборки
15.06.2021
22

23. Показатели формы

Асимметрия
Эксцесс
Моменты
15.06.2021
M[ M ( )]3
3
/
2
[D( )]
4
M[ M( )]
[D( )]2
μ3
As 3
σ
μ4
Ek 4
σ
k M [( X M ( X )) ]
k
23

24. Квантиль

Квантилью уровня α (или α – квантилью) непрерывной
случайной величины ξ , имеющей непрерывную функцию
распределения F(x), называется значение Xα для которого
P (ξ< Xα) = α
Часто встречающиеся в практике квантили.
Медиана - квантиль, соответствующая значению α =0,5
Верхняя квартиль – квантиль, соответствующий значению
α =0,75
Нижняя квартиль – квантиль, соответствующий значению
α =0,25
Децили – квантили уровней 0,1; 0,2; ... , 0,9.
15.06.2021
24

25. Квантиль Xα случайной величины, имеющей функцию распределения F(x)

F(x)
F(xp)
xp
15.06.2021
x
25

26. Примеры решения прямой задачи в EXCEL

Для нормального закона распределения,
=НОРМСТРАСП(1.96) = 0.975002
=НОРМСТРАСП(-1.96) = 0.024998
Для распределения Стъюдента
=СТЬЮДРАСП(1.96;100;1) = 0.026389
=СТЬЮДРАСП(1.96;200;1) = 0.025692
1.96 – заданное значение X,
100,200 – число степеней свободы,
1 - односторонний интервал
15.06.2021
26

27. Примеры решения обратной задачи в EXCEL

Для нормального закона распределения по заданной
вероятности найдем квантиль
=НОРМСТОБР(0.025) = -1.96
=НОРМСТОБР(0.975) = 1.96
Решение обратной задачи для распределения Стъюдента
=СТЬЮДРАСПОБР(0.05;500) = 1.96472
Соответствует Р= 0.975
=СТЬЮДРАСПОБР(0.01;500) = 2.585698
Соответствует Р= 0.995
15.06.2021
27

28.

Спасибо
за
Внимание !!!
15.06.2021
28

29.

Предела
для СОВЕРШЕНСТВА нет
!!!
15.06.2021
29
English     Русский Правила