Обработка экспериментальных данных

1.

Обработка экспериментальных данных
x
y
x0
y0
xi
yi
xn
yn

2.

y
x

3.

Обработка экспериментальных данных
1.
2.
3.
4.
Какие узлы использовать?
Какую аналитическую функцию использовать?
Какой критерий согласия использовать?
Какую точность необходимо достичь?

4.

Класс функций
F ( x ) ax b
F ( x ) ax 2 bx c
F ( x ) ax m
F ( x ) ae mx
F ( x ) a ln x b
a
F ( x) b
x
1
F ( x)
ax b
x
F ( x)
ax b

5.

Критерий согласия
• Среднеквадратичный критерий
n
J ( F ( xi ) yi ) 2
i 1
• Минимаксный критерий (критерий Чебышева)
J max F ( xi ) yi
i
• Вероятностно-зональный критерий

6.

Обработка экспериментальных данных. Метод
наименьших квадратов
F ( x ) ax b
x
x0
y
y0
F ( x ) ax 2 bx c
F ( x ) ax m
F ( x ) ae
mx
F ( x ) a ln x b
xi
yi
xn
yn
1
F ( x)
ax b
x
F ( x)
ax b
a
F ( x) b
x

7.

МНК для произвольной функции
F ( x , a , b, c )
n
2
J ( y F ( x , a, b, c)) (a, b, c) min
i
i
i 1
n
д
'
0
( yi F ( xi , a, b, c)) Fa ( xi , a, b, c) 0
дa
i 1
n
д 0
' ( x , a , b, c ) 0
(
y
F
(
x
,
a
,
b
,
c
))
F
дb
i
i
b i
д
i 1
0
n
дc
( y F ( x , a, b, c)) F ' ( x , a, b, c ) 0
i
c i
i 1 i

8.

МНК для линейной функции
F ( x) ax b
n
' ( x , a , b ) 0
(
y
F
(
x
,
a
,
b
))
F
i
i
a i
i 1
n
' ( x , a, b) 0
(
y
F
(
x
,
a
,
b
))
F
i
i
b i
i 1
n
( yi axi b) xi 0
i 1
n
( yi axi b) 1 0
i 1

9.

МНК для линейной функции
n 2
n
n
xi yi a xi b xi 0
i 1
i 1
i 1
n
n
y
a
x
nb
0
i
i
i 1
i 1
1 n 2
1 n
1 n
a xi b xi xi yi
n i 1
n i 1
n i 1
1 n
1 n
a
x
b
y
n
i
i
n
i 1
i 1

10.

МНК для линейной функции
n
n 2
xi
x
M i 1
M
i 1 i
x
n
n
x2
n
n
xi yi
yi
M i 1
M i 1
xy
y
n
n
aM 2 bM x M xy
x
aM x b M y

11.

x
y
x2
xy
x1
y1
x12
x2
y2
xn
Mx
F ( x)
e
x1 y1
F ( x1 )
e1
x22
x2 y 2
F ( x2 )
e2
e22
yn
xn2
xn y n
F ( xn )
en
en2
My
M x2
M xy
F ( x ) ax b
e
2
2
e1
E
n
e y F ( x)
E
2
e
i
i 1
n 1

12.

МНК для квадратичной функции
F ( x, a, b, c) ax 2 bx c
'
2
'
'
F x
F x F 1
a
b
c
n
2 bx c) x 2 0
(
y
ax
i
i
i
i 1
n
2 bx c) x 0
(
y
ax
i
i
i
i 1
n
( y ax 2 bx c) 1 0
i
i 1 i

13.

МНК для квадратичной функции
aM bM cM
M
x4
x3
x2
x2 y
aM 3 bM 2 cM x M xy
x
x
aM bM c M
x
y
x2

14.

МНК для степенной функции
F ( x) ax m
ln F ( x) ln a m ln x
z ln F ( x) u ln x
B ln a
A m
z Au B
AM 2 BM u M uz
u
AM u B M z

15.

z
u2
uz
F ( x)
u1
z1
2
u1
u1 z1
F ( x1 )
y2
u2
z2
u22
u2 z2 F ( x ) e
2
2
e22
yn
un
zn
un2
un zn F ( xn ) en
en2
M uz
E
x
y
u
x1
y1
x2
xn
Mu M z
F ( x ) ae
mx
M u2
e
e2
e1
2
e1
n
e y F ( x)
E
2
e
i
i 1
n 1

16.

МНК для показательной функции
mx
F ( x) ae
ln F ( x) ln a mx
z ln F ( x) B ln a
z Ax B
AM 2 BM x M xz
x
AM x B M z
A m

17.

МНК для логарифмической функции
F ( x) a ln x b
u ln x
F (u ) au b
aM 2 bM u M uy
u
aM u B M y

18.

МНК для гиперболической функции
a
F ( x) b
x
1
u
F (u ) au b
x
aM 2 bM u M uy
u
aM u b M y

19.

МНК для дробно-линейной функции
1
F ( x)
ax b
1
ax b
F ( x)
1
z
F ( x)
z ax b
aM 2 bM x M xz
x
aM x b M z

20.

МНК для дробно-рациональной функции
x
F ( x)
ax b
1
ax b
b
a
F ( x)
x
x
1
1
z
u
B a
F ( x)
x
z Au B
AM 2 BM u M uz
u
AM u B M z
A b