Функции и их свойства

1.

Если каждому элементу х множества Х ставится
в соответствие определенный элемент у
множества У, то говорят, что на множестве Х
задана функция
y f (x)

2.

х называется независимой переменной
у называется зависимой переменной
Х – область определения функции
У – область значений функции
Совокупность
точек
плоскости
удовлетворяющих уравнению
y f (x)
называется графиком этой функции.
ХОУ,

3.

1. Аналитический
Функция задана формулой вида
y f (x)
Например:
1
y x
3
Область определения:
Область значений:
x
y

4.

2
y 1 x
2
Область определения:
0 y 1
Область значений:
x , x 0
y
x 1, x 0
3
3
1 x 1

5.

2. Табличный
Функция задана таблицей, в которой содержатся
значения аргумента х и соответствующие
значения функции f(x).
Например: таблицы логарифмов.
3. Графический
Функция задана в виде графика y=f(x).

6.

1. Четность
Функция y=f(x) называется четной, если
для любого х
f ( x) f ( x)

7.

Функция y=f(x) называется нечетной, если
для любого х
f ( x) f ( x)
Если оба эти условия не выполняются, то функция
называется функцией общего вида.

8.

Например:
1
y x
3
2
y x
2
3
y x x
2
- нечетная, т.к.
- четная, т.к.
3
( x) x
3
( x) x
2
2
- общего вида .
График четной функции симметричен
относительно оси ординат.
График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
3

9.

2. Монотонность
Функция y=f(x) называется возрастающей
(убывающей) на промежутке Х, если
большему значению аргумента из этого
промежутка соответствует большее
(меньшее) значение функции.

10.

x1 , x2 X
x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 )
- функция возрастает
f ( x2 ) f ( x1 )
- функция убывает

11.

y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x1
x2
f ( x2 ) f ( x1 ) - функция возрастает

12.

y
y f (x)
f ( x1 )
x
f ( x2 )
x1
x2
f ( x2 ) f ( x1 ) - функция убывает

13.

Функции, возрастающие и убывающие
называются монотонными.
Например:
y x
2
Возрастает на промежутке:
[0; )
Убывает на промежутке:
( ;0]

14.

3. Ограниченность
Функция y=f(x) называется ограниченной
на промежутке Х, если существует число
М>0, такое, что для любого х выполняется
неравенство:
f ( x) M

15.

В
противном случае
неограниченной.
функция
называется
Например:
y cos x
- ограничена на всей числовой оси, т.к. для
любого х
cos x 1

16.

4. Периодичность
Функция y=f(x) называется периодичной с
периодом Т, не равным нулю, если для
любого х выполняется равенство:
f ( x T ) f ( x)

17.

Например:
y cos x
-периодичная с периодом, равным 2П, т.к. для
любого х
cos(x 2 ) cos x

18.

Введем понятие обратной функции.
Пусть задана функция от аргумента х: y=f(x) ,
определенная на множестве Х с областью
значений У.
Поставим в соответствие каждому значению
y Y
единственное значение
x X
при котором f(x) =y.

19.

Функция x=φ(y) определенная на
множестве У с областью значений Х,
называется обратной к функции y=f(x) .
Традиционно функцию обозначают у а аргумент –
х. Поэтому обратную функцию обозначают
y ( x) f ( x)
1

20.

Например:
Для функции
y a
x
обратной будет функция
y log a x
Графики взаимно обратных функций
симметричны относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов.

21.

y
y ax
x
y log a x

22.

Введем понятие сложной функции.
Пусть задана функция от аргумента u: y=f(u) ,
определенная на множестве U с областью
значений У.
Пусть u в свою очередь, является функцией от
переменной х: u=φ(x), определенной на множестве
Х с областью значений U.
Функция y=f [φ(x)] определенная на
множестве Х с областью значений Y,
называется сложной функцией.