Вписанная и описанная окружности

1.

2.

Если все стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называется вписанной
в многоугольник.
А многоугольник
D
С
называется
описанным около
этой окружности.
О
E
В
А

3.

Какой из двух четырехугольников АВСD или АЕКD
является описанным?
К
С
E
В
О
D
А

4.

Теорема об окружности, вписанной в треугольник
А
В любой треугольник можно
вписать окружность.
Дано: АВС
Доказать, что в
треугольник можно
вписать окружность
С
В

5.

1) ДП: биссектрисы углов треугольника
Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника
2)
СOL = COМ, по гипотенузе и ост. углу
А
ОL = MО
3)
МОА= КОА, по гипотенузе и ост. углу
МО = КО
4) LО=MО=KО
точка О равноудалена от сторон
треугольника. Значит, окружность с
центром в т.О проходит через точки
K, L и M. Стороны треугольника АВС
касаются этой окружности. Значит,
окружность является вписанной
АВС.
Центр вписанной в треугольник
окружности лежит на пересечении
Биссектрис треугольника
В
M
K
О
С
L

6.

Замечания к теореме.
1. В треугольник можно вписать только одну
окружность.
2. Площадь треугольника равна
Произведению его полупериметра
на радиус вписанной окружности.

7.

Замечания к теореме.
3. Не во всякий четырехугольник можно
вписать окружность.
В прямоугольник нельзя вписать окружность.
С
В
О
А
D

8.

Ели в четырехугольник можно
вписать окружность,
то он должен обладать
следующими свойствами,
для доказательства которых нужно вспомнить

9.

Свойство касательной
С
E
Свойство отрезков
касательных
F
В
О
D
P
К
А

10.

В любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны.
E
d
С
d
R
c
a
В
О
D
c
a
F
N
b
А
b

11.

Верно и обратное утверждение.
Если суммы противоположных сторон выпуклого
четырехугольника равны, то в него можно вписать
окружность.
С
ВС + АD = АВ + DC
В
О
D
А

12.

Если все вершины многоугольника лежат на
окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника.
А многоугольник
С
В
D
О
А
E
называется
вписанным в эту
окружность.

13.

Какой из многоугольников, изображенных на рисунке
является вписанным в окружность?
С
С
D
D
P
В
В
О
О
E
L
А
E
X
А
E

14.

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении
описанной окружности?
В
А
О
D
С
Теорема о вписанном угле

15.

Теорема о вписанном треугольнике
Около любого треугольника можно
А
описать окружность.
Дано: АВС
Доказать, что можно
описать окружность
С
В

16.

1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам
ВOL = CO L, по катетам ВО = СО
3) СОМ = АOМ, по катетам СО = АО
2)
4) ВО=СО=АО, т.е. точка О
равноудалена от вершин
треугольника. Значит,
окружность с центром в т.О
и радиусом ОА пройдет
через все три вершины
треугольника, т.е. является
описанной окружностью.
А
M
K
С
О
L
Центром описанной окружности
является точка пересечения
серединных перпендикуляров
В

17.

1. Около треугольника можно описать окружность
и при том только одну.

18.

2. В любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных углов равна 1800.
В
А
О
1
А ВCD
2
+
1
C ВAD
2
3600
D
С
1
А С ( ВСD ВАD )
2
А С 1800

19.

Верно и обратное утверждение.
Если сумма противоположных углов
четырехугольника равна 1800, то около него можно
описать окружность.
В
А
670
А
1000
D
В
990
О
1130
770
О
800
1230
С
D
790
С

20.

задача
Сумма двух противоположных сторон
описанного четырехугольника равна 15 см.
Найдите периметр этого четырехугольника.
С
D
В
О
ВC+AD=15
AB+DC=15
А
PABCD = 30 см

21.

Найти FD
D
?
5
F
7
О
4
А
6
N

22.

Равнобокая трапеция описана около окружности.
Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус
вписанной окружности.
ВC+AD=10
AB+DC=10
В L
5
2
С
5
О
4
А
3
N
S
F
8
3
D

23.

Можно ли в данный
четырехугольник
вписать окружность?
С
5
4
В
О
D
8
7
А
5+7 = 4+8