Перестановки, размещения, cочетания, вероятность

1.

Перестановки
Размещения
Сочетания
Вероятность

2.

Факториал
Определение 1
Факториалом называется произведение первых n
натуральных чисел
n! = 1*2*2*…(n-2)(n-1)n
0!=1
1!=1
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!= 1*2*3*4=24
5!=1*2*3*4*5=120

3.

Перестановки
Определение 2
Перестановкой из n элементов называется каждое
расположение этих элементов в определенном
порядке Р=n!
Пример 1
Сколькими способами могут быть расставлены 8
участниц финального забега на восьми беговых
дорожках?
Р8=8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320(способов)

4.

Размещения
Определение 3
Размещением из n элементов по k (k≤ n) называется любое
множество, состоящее из любых k элементов, взятых в
определенном порядке из данных n элементов
Аnk=
Пример 2
Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими
способами можно составить расписание на один день, чтобы
в нем было 4 различных предмета?
А84=8*7*6*5=1680 (способов)

5.

Сочетания
Определение 4
Сочетанием из n элементов по k называется
любое множество, составленное из k элементов,
выбранных из данных n элементов
k
Сn =
Пример 3
Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех
дежурных. Сколькими способами можно сделать этот
выбор?
С153=15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)=455(способов)

6.

Вероятность
Определение 5
Вероятностью события А называется отношение числа
благоприятных для него исходов N(А) испытания к
числу всех равновозможных исходов N
Р(А)= N(А)/N
Пример 4
Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик
подготовил 11 первых и 8 последних билетов. Какова
вероятность того, что на экзамене ему достанется билет,
который он не подготовил?
Р(А)=(25-11-8)/25=0,24

7.

Сложение вероятностей
Определение 6
Если событие С означает, что наступает одно из двух
несовместных событий: А или В, то вероятность
события С равна сумме вероятностей событий А и В
Р(С)=Р(А)+Р(В)
Сумма вероятностей противоположных событий
равна 1
Р(А)+Р(А)=1

8.

Умножение вероятностей
Определение 7
Если
событие
С
означает
совместное
наступление двух независимых событий А и В, то
вероятность события С равна произведению
вероятностей событий А и В
Р(С)=Р(А)*Р(В)

9.

Вероятность
Сумма вероятностей
Сумма вероятностей
двух событий равна
сумме вероятности
произведения этих
событий и
вероятности суммы
этих событий
Вероятность суммы
Вероятность суммы
двух событий равна
разности суммы
вероятностей этих
событий и
произведения
вероятностей этих
событий
Р(А)+Р(В)= Р(А*В) +Р(А+В)
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)*Р(В)

10.

Задача 1
Условие
Решение
Биатлонист 5 раз стреляет
по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при
одном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того,
что биатлонист первые 3
раза попал в мишени, а
последние 2 раза
промахнулся. Результат
округлите до сотых.
Вероятность каждого
попадания равна 0,8.
Вероятность каждого
промаха равна 1-0,8= 0,2.
По формуле умножения
вероятностей получим
Р(А)=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2
Р(А)= 0,02048 0,02
Ответ: 0,02

11.

Условие
Задача 2
В Сказочной стране бывает два
типа погоды: хорошая и
отличная, причем погода,
установившись утром,
держится неизменной весь
день. Известно, что с
вероятностью 0,6 погода
завтра будет такой же, как и
сегодня. Сегодня 18 сентября,
погода в Сказочной стране
хорошая. Найдите
вероятность того, что 21
сентября в Сказочной стране
будет отличная погода.
Решение
Так как 18 сентября погода хорошая, то
19 сентября с вероятностью 0,6
погода хорошая, а с вероятностью
0,4 отличная.
Если 19 сентября погода хорошая, то
20 сентября вероятность хорошей
погоды равна 0,6*0,6=0,36
Вероятность отличной погоды равна
0,6*0,4=0,24
Аналогично, если 19 сентября погода
отличная, то с вероятностью
0,4*0,6=0,24 она будет отличной и
20 сентября. Хорошей 20 сентября
погода будет с вероятностью
0,4*0,4=0,16.
Рассуждая аналогично, получаем, что
вероятность отличной погоды 21
сентября будет равна вероятности
суммы: 0,6*0,24+
+0,6*0,24+0,4*0,16+0,6*0,24=0,496

12.

Условие
Задача 3 Решение
Автоматическая линия
изготавливает батарейки.
Вероятность того, что готовая
батарейка неисправна, равна 0,02.
Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему
контроля. Вероятность того, что
система заблокирует
неисправную батарейку, равна
0,98. Вероятность того, что
система по ошибке заблокирует
исправную батарейку, равна 0,03.
Найдите вероятность того, что
случайно выбранная
изготовленная батарейка будет
заблокирована системой
контроля.
Пусть событие
А={батарейка будет
заблокирована}, тогда
вероятность наступления
данного события можно
найти как объединение
пересечений событий.
Р(А)=0,02*0,98+0,98*0,03
Р(А)=0,98(0,02+0,03)
Р(А)=0,98*0,05= 0,049
Ответ: 0,049

13.

Литература
1.
Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории
вероятностей: учеб. пособие для учащихся общеобразоват.
Учреждений. Издательство «Просвещение», 2003
2.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического
анализа. Часть 1.Учебник для общеобразовательных
организаций. Издательство «Мнемозина», 2015
3.
Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ2016. Издательство ООО «Легион», 2015
4.
Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ 2016. Математика. Теория
вероятностей. Рабочая тетрадь. Издательство МЦНМО, 2016