Возрастание и убывание функций

1.

Возрастание и
убывание
функций

2.

Слушаю – забываю.
Смотрю – запоминаю.
Делаю – понимаю.
Конфуций

3.

Изучение нового материала
• Признак возрастания функции
• Признак убывания функции
• Как определить промежутки убывания и
возрастания функции

4. Признак возрастания функции

y
y=f(x)
M3
M2
M1
0 а
x
b

5. Признак убывания функции

y
y=f(x)
M1
M2
M3
x
0
а
b

6. Как определить промежутки убывания и возрастания функции

Алгоритм:
1. Найти производную функции f'(x).
2. Найти стационарные (f'(x)=0) и критические
(f'(x) не существует) точки функции у= f(x).
3. Отметить стационарные и критические точки
на числовой прямой и определить знаки производной
на получившихся промежутках.
Пример 1
Пример 2
4. Сделать выводы о промежутках возрастания и
убывания функции.

7. Как определить промежутки убывания и возрастания функции

1
1
2
Достаточный
Признак
Возрастания
функции
Достаточный
признак
убывания
функции
Если в точке х
‫ ‬
производная
меняет знак с плюса
На минус, то х
‫ ‬точка
максимума
Если f ′(х)> 0
2
3
3
Признак
Максимума
функции
4
Признак
Минимума
функции
в каждой точке
интервала I ,
то функция
возрастает на I .
Если f′(х)< 0
в каждой точке
интервала I ,
то функция
убывает на I. .
Если в точке х
производная
4
‫ ‬
меняет знак с плюса
На минус, то х
‫ ‬точка
максимума

8. Как определить промежутки убывания и возрастания функции

1
2
Достаточный
Признак
Возрастания
функции
1 Если в точке
х
‫ ‬
производная
меняет знак с плюса
На минус, то х
‫ ‬точка
Если f ′(х)> 0
Достаточный
признак
убывания
функции
2
3
3
Признак
Максимума
функции
Если f′(х)< 0
в каждой точке
интервала I ,
то функция
убывает на I. .
4
Признак
Минимума
функции
в каждой точке
интервала I ,
то функция
возрастает на I .
Если в точке х
производная
4
‫ ‬
меняет знак с минус
На плюса, то х
‫ ‬точка

9. График функции

Учащиеся работают в парах,
решение записывают в тетрадях.
а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9;
б) у = 3 х² — 5х + 4.
Двое работают у доски.
а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40
б) у = 4х - 2 х³

10. График функции

Самостоятельная работа
В-1
В-2
1) Найти промежутки возрастания и убывания
функции У = f(x).
А1
А2
3
2
f(x) = x + x + 16
f(x) = x3 + 4x2 - 37
B1
B2
f(x) = 2x4 – 4x2 +15
f(x) = x4 – 8x2

11.

Исаак
Ньютон
(1643-1727)

12.

«Варианты вопросов В из
открытого сегмента ЕГЭ»
+
-
-
+

13.

f ( x ) 0
f ( x ) 0
у f (x )
у
х
0
f ( x ) 0
у f (x)
max
у
max
0
min
min
min
х

14.

4. На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
. Найдите промежутки
убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из
них.
В8 6
f x0 0 функция
убывает
,

15.

7. На рисунке изображен график производной функции
, определенной
на интервале
. Найдите промежутки возрастания функции
.
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
f x0 0 функция
-1
0 1
возрастает
2 3 4
-1+0+1+2+3+4=…
В8 9

16. «Варианты вопросов В из открытого сегмента ЕГЭ»

8. На рисунке изображен график функции
, определенной
на интервале
. Определите количество целых точек, в
которых производная функции отрицательна
.
В8
функция
8
убывает f x0 0

17.

3. На рисунке изображен график функции
, определенной
на интервале
. Найдите сумму точек экстремума функции.
-2+1+3+4+5+8+10=…
-2
3. 4
5
1
В8 2 9
8
10

18.

9. На рисунке изображен график производной функции
,
определенной на интервале
. Найдите точку экстремума
функции на интервале
.
-3
-
+
3
В8 - 2

19.

10. На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
. В какой точке
отрезка
функция
принимает наименьшее
значение.
2
-3
-
+
3
В8 2
,

20.

21.

22.

23.

24.

Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.

25.

26.

Функция у = f(x) определена на отрезке [-6; 6].
На рисунке 104 изображен ее график. Укажите
число промежутков, на которых отрицательна
функция у = f'(х).
3

27.

На рисунке 119 изображены четыре
непрерывных линии. Одна из этих линий —
график производной для возрастающей на
всей числовой прямой функции. Укажите
номер этой линии.
4