Распределения Максвелла и Больцмана II

1. Распреде-ления Максвелла и Больцмана II

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МАКСВЕЛЛА
И
БОЛЬЦМАНА II

2. Домашнее задание

8kT
8kT
v
v T
2
mN
mO
8k
8k
mO
mN
2
v
8k
2
mN mO
mO mN
2

3. Домашнее задание

v 0,
v N
x
v 0,
3kT 3RT
NA
,
A v
m
m
8kT
v NA v NA m ,
2
2

4. Домашнее задание

2
2
l
ml
2
I ml 2m
,
2
2
I 2
kT
iвр
kT
2
2
2
2kT 4kT 8kT
8RT
2
2
I
ml
mN l
M Nl2

5. Проверочная работа

С помощью распределения Максвелла
m
2
F (v) 4 v
2
kT
n
определить v , n>-1
3/ 2
mv 2
exp
2kT

6.

4
F (v) dv
vn
4vвn
In
u
2 n
2
u
exp(
u
)du
0
2 n
0
u 2 exp( u 2 )du ,
exp( u )du
2
u
2 n
2
exp( u 2 )
0
2
exp(
u
)
2
da u exp( u ) du, a
2
n 1
n
b u ,
db (n 1)u du
n 1
n 1
n
2
u exp( u )du
I n 2
2 0
2

7.

2k 1 !!
2k 1
I 2k
I 2( k 1)
I0
k
2
2
v
2k
v
v
0
2
v4
4vв2k
I 2k v
2k
в
2k 1 !!
2
0
в
v
0 1 !! 1,
2
в
v
2 1 !! 3kT ,
k
4
4
I0 v
2k
в
m
2
2
4
1
!!
15
4(
kT
)
15(
kT
)
v4
.
в
22
4
2k 1 !!
2k
2kT
vв
m
20
2
I0 1
m2
m2

8.

2k 1 !!
2k 1
I 2k
I 2( k 1)
I0
k
2
2
v
2k
v
v
0
2
v4
4vв2k
I 2k v
2k
в
2k 1 !!
2
0
в
v
0 1 !! 1,
2
в
v
2 1 !! 3kT ,
k
4
I0 v
2k
в
m
2
2
4
1
!!
15
4(
kT
)
15(
kT
)
v4
.
в
22
4
2k
2kT
vв
m
20
2
2k 1 !!
m2
m2

9.

2k
k!
2
I 2 k 1
I 2 k 1 k ! I 1 k ! u exp( u ) du
2
2
0
2 k 1
4
v
k!
2 k 1
2 k 1 k !
в
v
2vв
2
v 2vв
1
v
v
3
5
v
3
в
v
5
в
0!
8kT
,
m
6 2kT
m
1!
2kT
vв
m
3/ 2
2 2kT
m
2!
,
5/ 2
.

10. Следствия изотропности простраства

f ( v) x (vx ) y (v y ) z (vz )
f ( v) (v) (vx ) (v y ) (vz )
v v v v
2
x
2
y
2
z
ln (v) ln (vx ) ln (v y ) ln (vz )
vx
(v) v (v) vx (vx )
(v) vx (v) v (vx )

11. Распределение по одной проекции

(vx ) 1 (v) 1
(vx ) vx (v ) v
(vx )
2
vx (v) A exp v
(v x )
m
A
exp
v
dx
1
A
2
kT
m
mv 2
kT
2
2 A exp v dx 2 2kT
2

12. Распределение Максвелла

m
f ( v ) (v )
2 kT
3/ 2
mv
exp
2kT
2
x
3/ 2
2
mv y2
mvz m
mv 2
exp
exp
exp
2kT
2kT
2kT 2 kT
m
F (v) 4 v (v) 4 v
2 kT
2
2
3/ 2
mv 2
exp
2kT

13. О нормировке и размерностях

1
(v)dv 1, (v) v .
f ( v)dv
f ( v)dvx dv y dvz 1,
1
f ( v ) (v ) 3 .
v
0
1
F (v)dv 1, F (v) .
v

14. Характерные скорости

ХАРАКТЕРНЫЕ СКОРОСТИ
2kT
vв : F (vв ) 0 vв
m
8kT
v vF (v)dv
m
0
vкв
v
2
3kT
0 v F (v)dv m
2

15. Безразмерный вид

mv
m
F (v) dv 4 v
dv
exp
2 kT
2kT
1/ 2
m
v
1
m
u v
,
2kT vв
vв
2 kT
3/ 2
2
2
v2
4 2
4 v 2
2
u exp( u )du ,
3/ 2 3 exp 2 dv
vв
vв
mv
m
(v) dv
exp
2 kT
2kT
2
1
2
dv
exp
u
du

16.

17.

mv 2
m
(v )
exp
2 kT
2kT
(v) dv
1
exp u du
vx
2kT
vв
m
2
2
v (v)dv
2kT
2
m
2kT
m
u exp( u )du
2
0
exp( u )
2kT
2
m
0
2

18.

19.

mv
m
F (v) dv 4 v
dv
exp
2 kT
2kT
2
2
4 2
4v dv
v
2
u
exp(
u
)
du
,
exp
2
3
vв
vв
3/ 2
2
2
m
v
u v
2kT vв
1
v
0
F (v )
1 4
dv
v
vв
u exp( u
0
2
)du

20.

1 4 exp( u
vв
2
)
1 2
2m
v
kT
0
в
4vв
3
2
v vF (v) dv
u
exp(
u
)du
2
0
4vв 2
2
0
4vв 2 1 2vв
8kT
0 u exp( u )du 2 2 m
2
1
v
2m 8kT 4
v
kT m

21. Другие представления

dv
F ( )d F (v)dv F ( )d F (v)
d
m
F ( ) 4 v 2
2 kT
3/ 2
v
mv 2 1
exp
2
kT
2 m
2
m
v
2
m
2
exp
3/ 2
kT
kT
dv
4 p 2
p2
Fp ( p) F (v)
exp
3/ 2
dp v p 2 mkT
2
mkT
m

22.

23.

2
F ( )
exp
3/ 2
kT
kT
kT
2
2 2
2
exp kT exp kT kT exp kT 0 в 2
2kT mvв2 m 2kT
vв
kT
m
2
2 m

24. Распределение Больцмана

p
S p
p dN F nSdz F
nF
z
z dz
z
z
z
z
p nF n U
kT n n U
p nkT
n
U
U
ln n
n
kT
kT
U
p p0 exp .
kt
U
n n0 exp .
kt
mgh
U mgh p p0 h 0 exp
kt

25.

26.

ma m 2r Fц , Fц U ,
m 2 r 2
U
2
2
m( r )
U
p p0 exp p0 exp
kT
kT

27.

28.

N E N 0 exp E / kT ,
N1 N 0 exp E1 / kT ,
N 2 N 0 exp E2 / kT ,
N1 N 2 N 0 exp E1 / kT N 0 exp E2 / kT N ,
N
N0
,
exp E1 / kT exp E2 / kT
N1
N exp E1 / kT
exp E1 / kT exp E2 / kT
N2
N exp E2 / kT
,
exp E1 / kT exp E2 / kT

29.

30.

U mgh U
mgh exp h dh
0
mg
kT
exp h dh
0
1
h exp h 0 exp h dh
mg
0
mg
kT
exp h dh
0