Линейные пространства и подпространства

1.

2.

Линейное пространство: основные определения и понятия

3.

Линейное пространство: определение

4.

Линейные пространства: примеры

5.

Линейные пространства: следствия из аксиом
1 2 ,
1 2 1 ,
1 2 2 ,
x L
x 1 1 x x , x 2 2 x x
1 2 ,

6.

Линейные пространства: следствия из аксиом
x L,
x x 0 x 0
x x 0 0 x 0 x
α R α C
0 0.

7.

Линейные пространства: следствия из аксиом

8.

Линейные пространства: основные понятия

9.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

10.

Критерий линейной зависимости системы векторов
i :
xi 1 x1 ... i 1 xi 1 i 1 xi 1 ... n xn ,
1 ,..., i 1 , i 1 ,..., n R.
i xi 1x1 ... i 1xi 1 i 1xi 1 ... n xn ,
i xi 1x1 ... i 1xi 1 i 1xi 1 ... n xn ,
xi
1
x1 ... i 1 xi 1 i 1 xi 1 ... n xn .
i
i
i
i
xi 1 x1 ... i 1 xi 1 i 1 xi 1 ... n xn

11.

Критерий линейной зависимости системы векторов
i :
xi 1 x1 ... i 1 xi 1 i 1 xi 1 ... n xn ,
1 ,..., i 1 , i 1 ,..., n R.
xi 1x1 ... i 1xi 1 i 1xi 1 ... n xn , 1 ,..., i 1 , i 1 ,..., n R.
1x1 ... i 1xi 1 i 1xi 1 ... n xn xi 0,
1x1 ... i 1xi 1 xi i 1xi 1 ... n xn 0,
1x1 ... i 1xi 1 1 xi i 1xi 1 ... n xn 0.

12.

Частные случаи линейной зависимости системы векторов
1 0, ..., i 1 0, i 1, i 1 0, ..., n 0
0 x1 ... 0 xi 1 1 0 0 xi 1 ... 0 xn 0
,
i 1, j 1, k 0, k 1,...,i 1,i 1,..., j 1, j 1,...,n

13.

Частные случаи линейной зависимости и независимости
1x1 ... k xk 0 xk 1 ... 0 xn 0
0
0

14.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов: примеры

15.

Конечномерное пространство: определение, базис

16.

Способ выбора базиса в конечномерном линейном пространстве
Доказательство.
dim L n ,
,
x1 , x2 , ..., xn , x линейно зависимая , т.е. найдется ненулевой набор
1x1 2 x2 ... n xn n 1x 0.
1 , 2 , ..., n , n 1 :
1x1 2 x2 ... n xn 0,
n 1 0
n 1 x 1x1 2 x2 ... n xn ,
x
1
x1 2 x2 ... n xn
n 1
n 1
n 1

17.

Конечномерные пространства: примеры и свойства
Примеры:

18.

Свойства конечномерных линейных пространств
x 1e1 2e2 ... nen ,
x 1e1 2e2 ... nen ,
x x 1e1 2e2 ... nen 1e1 2e2 ... nen ,
0 1 1 e1 2 2 e2 ... n n en .
1 1 0 ,
0 ,
2
2
n n 0;
1 1 ,
,
2
2
n n .

19.

Свойства конечномерных линейных пространств
a1 11e1 21e2 ... n1en ,
a2 12 e1 22 e2 ... n2en ,
an 1ne1 2ne2 ... nnen
11 12 1n
21 22 2 n
n1 n 2 nn
0.

20.

Доказательство критерия линейной независимости
1a1 2a2 ... n a n 0,
1 11e1 21e2 ... n1en 2 12 e1 22 e2 . .. n 2 en ...
n 1n e1 2 n e2 ... nn en 0 .
1 11 2 12 ... n 1n e1 1 21 2 22 ... n 2n e2 ...
1 n1 2 n 2 ... n nn en 0.
1 11 2 12 ... n 1n 0 ,
... 0 ,
1 21
2 22
n 2n
1 n1 2 n 2 ... n nn 0.

21.

Доказательство критерия линейной независимости
1 11 2 12 ... n 1n 0 ,
... 0 ,
1 21
2 22
n 2n
1 n1 2 n 2 ... n nn 0.
1a1 2 a2 ... n a n 0
11 12 1n
21 22 2 n
n1 n 2 nn
0.

22.

Следствие из критерия линейной независимости

23.

Формулы для связи двух базисов
t11 t12 t1n
t21 t22 t2 n
T
tn1 tn 2 tnn
' e'1,e'2 ,...,e'n , e1,e2 ,...,en
t11 t12 t1n
t 21 t 22 t 2 n
e'1 ,e' 2 ,...,e' n e1 ,e2 ,...,en
t n1 t n 2 t nn
' T
матрица перехода
det T 0, T 1
' T 1 T T 1 ,
' T 1 E ,
' T
1

24.

Связь координат вектора в двух базисах
x L
x 1e1 2e2 ... nen ,
x '1 e'1 '2 e'2 ... 'n e'n ,
Х ' X ' ,
Х T X' ,
1
2
x e1 ,e2 ,...,en X .
n
1
X 2 ,
n
'1
'2
X ' ,
'n
'1
'2
x e'1 ,e'2 ,...,e'n ' X '.
'n
' T ,
Х T X' ,
T 1 Х X '
T 1 Х T 1 T X '

25.

Линейные подпространства: основные понятия

26.

Линейные подпространства: основные понятия и факты
x 1a1 2a2 ... k ak ,
y 1a1 2a2 ... k ak
x y 1 1 a1 2 2 a2 ... k k ak ,
R ,
x y M;
x 1 a1 2 a2 ... k ak , x M .

27.

Линейные подпространства: основные понятия и факты
dim M1 k1 , dim M 2 k2 ,
dim M1 M 2 k1 k2 dim M1 M 2