Динамика твёрдого тела

1. ГЛАВА I. МЕХАНИКА §5. Динамика твёрдого тела

О. И. Лубенченко
НИУ МЭИ
Кафедра физики им. В. А. Фабриканта
2020

2. §5. Динамика твёрдого тела

2
I. Момент силы
Момент силы — векторная (псевдовекторная) ФВ, характеризующая
взаимодействие тел.
1. Момент силы относительно точки
Момент силы относительно точки:
A ⊗M
M rF
Точка O — полюс.
M
M rF sin r , F
O
Н м
z
2. Момент силы относительно оси
M rF k
k h
O
z
M rFxy sin r , Fxy
Плечо силы — скалярная ФВ — кратчайшее
расстояние от оси до линии действия силы.
h r sin r , Fxy
F
r
M hFxy
F
D
r
A
Fxy
xy
M

3. §5. Динамика твёрдого тела

3
II. Основное уравнение динамики вращательного движения
e
i
z
II
закон
Ньютона
для
i-ого
фрагмента:
Δ
m
a
F
F
e
ki
i i
i
Fi
k i
ω
e
i
r F r F ki
Δ
m
r
a
i i i
ε
i i k i i
Oi
r F iki M iki a εr ω ωr
r F e M e
ri Δmi
i
i i
i
i
i
i
k i
k i
Двойное векторное произведение: a bc b ac c ab
ri ai r i εri ri ω ωri εri2 ri εri ri ω ωri ri ω2
0
0
εri ω ri ri εri2
2
2
e
Δmi ri ε Mi M
2
i
ki
k i
Δm r
2
i i
i
e
ε Mi M
i
i
ε Δmi ri Mi
2
i
i
k i
e
i
ki
0

4. §5. Динамика твёрдого тела

4
I Δmi ri2 — момент инерции тела относительно оси
i
Iε M — основное уравнение динамики вращательного движения
Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать и
относительно подвижной оси, проходящей через центр масс тела (доказать
самостоятельно).
III. Момент инерции
M
При Δmi → 0 I r dm
2
I кг м2
0
Момент инерции — мера инертности тела во вращательном движении —
скалярная ФВ, зависящая от формы и размеров тела. Момент инерции —
аддитивная величина.
M
Момент инерции тела относительно точки: I r 2dm
0
M
Момент инерции тела относительно оси: I r 2dm
0

5. §5. Динамика твёрдого тела

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
1. Тонкое кольцо (полый цилиндр)
Найти момент инерции тонкого однородного кольца массы m и радиуса R
относительно его оси.
z
Разобьём кольцо на бесконечно малые элементы — дуги
m
O
R
массой dm.
2
Элементарный момент инерции dI dm R
m
I R 2dm mR 2
dm
0
2. Тонкий стержень
Найти момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l
относительно оси: а) проходящей через середину стержня перпендикулярно
ему, б) проходящей через один из концов стержня перпендикулярно ему.
dm τdr
m
— линейная плотность
l
m
dI dm r 2 r 2dr
l
τ
5

6. §5. Динамика твёрдого тела

а)
z
l2
m, l
O
r
m 2
2m r 3
I 2 r dr
l
l 3
0
dm
dr
б) z
l
r
O
dm
0
2ml 3 ml 2
3l 8 12
3 l
m
mr
I r 2dr
l
l 3
0
m, l
dr
l2
ml 3 ml 2
3l
3
0
3. Однородный диск (сплошной цилиндр)
Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R относительно
его оси.
z
2
m
dm
dr
dI dm r
dm σdS
dS 2πrdr
r O
R
σ
m
— поверхностная плотность
2
πR

7. §5. Динамика твёрдого тела

m
2m 3
2
2
πrdr
r
r dr
2
2
πR
R
R
R
2m 3
2m r 4
mR 2
I 2 r dr 2
R
R 4 0
2
0
dI
4. Однородная сфера
Найти момент инерции однородной сферы массы m и радиуса R
относительно оси, проходящей через её центр.
z
2
2
2
r
m
O
R
x
dI z dm r dm x y
dm
dI x dm y 2 z 2
y
z
dI y dm x 2 z 2
dI0 dm R 2 dm x 2 y 2
2

8. §5. Динамика твёрдого тела

m
2
2
I z x y dm
0
m
2
2
I x y z dm
0
m
I y x 2 z 2 dm
0
m
I0
0
m
1
x 2 y 2 z 2 dm 2x 2 2 y 2 2z 2 dm
20
m
m
m
3
1
2
2
2
2
x y dm y z dm x 2 z 2 dm I z
2 0
0
0
2
Iz
Ix
2
2
I z I0 mR 2
3
3
Iy
5. Однородный шар
Найти момент инерции однородного шара массы m и радиуса R
относительно оси, проходящей через его центр.
2
I mR 2 (доказать самостоятельно)
5

9. §5. Динамика твёрдого тела

Теорема Штейнера
Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента
инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела
параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния
между осями:
I IC md 2
Доказательство
Разобьём тело на малые фрагменты массы dm.
zC
dm
dm
C
r ρ d
z
d
zC ⊙
ρ
r
d
2
ρ2dm d 2dm 2ρd dm
m
m
I ρ2dm d 2 dm 2d ρdm IC md 2
0
IC
dI ρ d dm ρ2 2ρd d 2 dm
⊙z
m
dIC ρ2dm
dI r 2dm
0
m
0
0, т. к. C — центр масс

10. §5. Динамика твёрдого тела

IV. Пример решения задачи по динамике
Маятник Обербека
Маятник Обербека — тело вращения сложной формы — маховик с
несколькими шкивами и четырьмя радиально направленными спицами, на
которые надеваются небольшие грузы, положение которых можно
изменять.
На шкив радиуса R намотана нить, на конце которой прикреплён груз
массы M. Масса грузов на спицах равна m, они расположены на расстоянии
r от оси маятника; момент инерции маховика со спицами относительно оси
маятника равен I0. Груз массы M поднимают на расстояние h над полом и
отпускают. Через какое время груз коснётся пола?
Объекты исследования: груз массы M — МТ; маятник с грузами массы m —
ТТ
ИСО — лабораторная

11. §5. Динамика твёрдого тела

N
m
m
r
O ⊗z
y : Ma Fт1 Т 1
y :0 Fт2 N Т 2
z : Iε T R
2
F т2
T1
F т1 a
τ
Дополнительные соотношения:
t=0
M
h
Iε M Fт2 M N M T2
ОУДВД (для маятника):
m
T2
m
Т. о движении ЦМ (для маятника): 0 F т2 N T2
⊗ M T2
⊗ε
R
Ma F т1 T1
II закон Ньютона (для груза):
(закон всемирного тяготения)
Fт1 Mg
0
T2 T1 T (нить невесома)
a
(нить нерастяжима и не проскальзывает
ε
по шкиву)
R
I I0 4mr 2
y
Ma Mg T
2 a
I
4
mr
TR
0
R

12. §5. Динамика твёрдого тела

I
T M g a
2
2
2
4
mr
a
MgR
MaR
0
MgR 2
a
I0 4mr 2 MR 2
2
at
Закон равноускоренного движения МТ (для груза): r t r v t
0
0
2
2
at
y t
2
aτ 2
2h
τ
При t = τ: y τ h
a
2
τ
2h I0 4mr 2 MR 2
MgR 2

13. §5. Динамика твёрдого тела

V. Динамика плоского движения твёрдого тела
Качение без проскальзывания — плоское движение, при котором
скорость точек тела, соприкасающихся с опорной поверхностью,
относительно этой поверхности, равна нулю. Ось, проходящая через эти
точки, неподвижна и называется мгновенной осью вращения.
(Ускорения точек мгновенной оси не равны нулю!)
v
C
C
⊗
z
ПРИМЕР
Скатывание цилиндра с наклонной плоскости
Цилиндр массы m и радиуса R, момент инерции которого относительно его
оси равен IC, скатывается без проскальзывания с плоскости, наклонённой к
горизонту под углом α. Найти ускорение центра масс цилиндра.
Объект исследования: цилиндр — ТТ
ИСО — лабораторная

14. §5. Динамика твёрдого тела

y
Fтр
Т. о движении ЦМ : maC Fт N F тр
N
t
⊗ε
m R
C ⊗ M Fтр
z0 ⊗
⊗
aC
z
α
Fт
ОУДВД:
x
Iε M Fт M N M Fтр
x : maC Fт sin α Fтр
y :0 N Fт cos α
z : I ε F R
тр
0 C
Дополнительные соотношения:
Fт mg (закон всемирного тяготения)
a
(отсутствие проскальзывания)
ε C
R
maC mg sin α Fтр
mgR 2 sin α
aC
aC
2
I
mR
I
F
R
C
C
тр
R
g sin α
2
aC
IC mR
Для полого цилиндра:
2
2
2 g sin α
mR
aC
Для сплошного цилиндра: IC
3
2

15. §5. Динамика твёрдого тела

VI. Момент импульса
Iε M
dω
ε
dt
dL
M
dt
dω
I
M
dt
M
d Iω
dt
— основное уравнения динамики вращательного
движения в дифференциальной форме
L Iω — момент импульса твёрдого тела относительно оси
кг м2
L с
dL
При M 0
0
dt
— закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой
системы относительно любой неподвижной оси не изменяется с течением
времени.