Определители

1.

2.

Определители: основные понятия
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2 ann
det A, A, A

3.

Вспомогательные сведения: перестановки
Доказательство. 1) n = 2.
2)
3) n k 1
X a;b
Перестановки:
a;b , b; a
2 1 2 2!

4.

Вспомогательные сведения: транспозиции
.

5.

Общая формула для вычисления определителей n-го порядка
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2 ann
1 t j a1 j1 a2 j 2 ... anjn
j

6.

Формулы для вычисления определителей первого и второго порядков
a11 a11
Например,
.
Пример 1.
5 5
a11
a12
a21
a22
2
5
4 7
a11 a22 a21 a12
2 7 4 5 14 20 34

7.

Формулы для вычисления определителей третьего порядка
a11
a12
a13
a21
a31
a22
a32
a23
a33
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 a31 a22 a13 a21 a12 a33 a32 a23 a11 .

8.

Пример вычисления определителя третьего порядка по формуле
a11
a12
a13
a21
a31
a22
a32
a23
a33
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 a31 a22 a13 a21 a12 a33 a32 a23 a11 .
Пример 2.
1 6 3
2
4
3 7
8 1 4 0 2 7 3 6 8 3 3 4 3 7 8 1 2 6 0
0
0 42 144 36 56 0 278 .

9.

Свойства определителей
Доказательство.
ai1 0, ai 2 0, ..., ain 0,
aiji 0 ,
ji 1, 2, ..., n;
det A 0

10.

Свойства определителей
Доказательство.
det A det A , det A det A , det A det A, 2 det A 0, det A 0
Доказательство.
A a'ij n ,
t j
det A 1
j
t j
1
j
a1 j1 a2 j2
aij , i k ,
i 1, 2, ..., n; j 1, 2, ..., n
aij , i k ,
... ak 1 jk 1 akjk ak 1 jk 1 ... anjn
a'ij
a1 j1 a2 j2 ... ak 1 jk 1 akjk ak 1 jk 1 ... anjn det A.

11.

Свойства определителей
Доказательство.
det A det A ,
A aij n ,
A a'ij n ,
a'ij
akj amj ,
aij ,i k ,
akj amj ;
det A 0 0
j 1, 2, ..., n.
j 1, 2, ..., n;
det A 0

12.

Свойства определителей
aij bij cij ,
a11
a1 j
j 1, 2, ..., n;
a11 a1 j
a1n
bi1 ci1 bij cij bin cin bi1
an1
anj
Доказательство.
an1 anj
ann
1 t j a1 j
j
bij
1
a1n
a11 a1 j
bin ci1
ann
a1n
cij
cin
an1 anj
ann
a2 j2 ...ai 1 ji 1 biji ciji ai 1 ji 1 ... anjn
1 t j a1 j1 a2 j 2 ...ai 1 ji 1 biji ai 1 ji 1 ... anjn
j
1 t j a1 j1 a2 j2 ...ai 1 ji 1 ciji ai 1 ji 1 ... anjn
j

13.

Свойства определителей
i 1, 2, ..., n;
aij bij cij ,
a11 b1 j c1 j
ai1
bij cij
a n1 bnj cnj
a1n
a11 b1 j
ain ai1
a nn
bij
a n1 bnj
a1n
a11 c1 j
ain ai1
a nn
a1n
cij
ain
a n1 cnj
a nn

14.

Свойства определителей
Доказательство.
det A det A det A det A,
det A 0

15.

Свойства определителей
Пример 3.
14674 14784
19568 19678
110
14674
14674 14784 14674
19568 19678 19568
1
19568 14674 1 1
110
14674 1
4894
0
14674 110
19568 110
110
14674 1
19568 1
110 14674 0 4894 1 538340 .

16.

Свойства определителей
Пример 4.
1 a a2
1
a
a2
1
a
1 b b2 1 1 b a b2 a 2 0 b a
1 c c2 1 1 c a c2 a2 0 c a
a2
b a b a
c a c a
1 a a2
1 a
b a c a 0 1 b a b a c a 0 1
0 1 c a
0 1 1
a2
b a
c a b a
1 1 a2
b a c a 0 1 b a b a c a 1 1 c b 0 0 0 0 0
0 0 c b
b a c a c b .

17.

Дополнительный минор и алгебраическое дополнение
2 8 11
4 9 12
7 10 15
a12 8,
M12
a22 9 ,
M 22
4 12
7 15
2 11
7 15
4 15 7 12 60 84 24
2 15 7 11 30 77 47
A12 1 1 2 M12 1 M12 1 24 24,
A22 1 2 2 M 22 M 22 47

18.

Свойства алгебраических дополнений
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2 ann
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain ,
a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj ,
i 1,2,...,n.
j 1,2,...,n.

19.

Вычисление определителей методом разложения по элементам строки
или столбца
Пример 5.
2 1
1 1
2
5
1
2
3 7 1 4
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a14 A14
5 9 2 7
4 6 1 2
7 1 4
3 1 4
3 7 4
3 7 1
1 2
1 3
1 4
9 2 7 5 1 5
2 7 1 1 5 9 7 2 1 5 9 2
6 1 2
4
1 2
4 6 2
4 6 1
2 15 5 21 78 2 6 30 105 78 12 9
2 способ.
2 5 1
3 7 1
5 9 2
4 6 1
1 1 1 3 M 13
2
2 5 1
4 1 2 0
7
5 9 2
2
4 6 1
2
6
7
2
2 5
1 2
1
1
4 6
1
0
0
1
2
6
3
2
2 5
1 2
1
1
2 1
1 2 6
1
1 3 0 6 12 12 3 0 9
2 1 0
1
0
0
0
2
6
3
0

20.

Правила вычисления определителей треугольного вида
a11
0
0
0
0
n 1:
a12
a22
0
0
0
a13
a23
a33
0
0
a11 a11 ,
a1n 1
a2 n 1
a3n 1
an 1n 1
0
n 2:
a1n
a2 n
a3 n
a11 a22 a33 ... an 1n 1 ann
an 1n
ann
a11
a12
0
a22
a11 a22 0 a12 a11 a22

21.

a11
0
0
0
0
,
a11
0
0
0
0
a12
a22
0
0
0
a13
a23
a33
0
0
a12
a22
0
0
0
a1,k
a2 ,k
a3,k
ak ,k
0
a13
a23
a33
0
0
a1,k 1
a2 ,k 1
a3,k 1
ak 1,k 1
0
a1,k
a 2 ,k
a3 , k
a11 a22 a33 ... ak 1,k 1 akk
ak 1,k
akk
a1,k 1
a11 a12
a2 ,k 1
0 a22
a3,k 1
0
0
2k 2
a
1
k 1,k 1
ak ,k 1
0
0
ak 1,k 1
0
0
a13
a23
a33
0
0
a1,k 1
a1,k
a2 ,k 1
a2 ,k
a3,k 1
a3,k
ak 1,k 1 ak 1,k
0
ak ,k
ak 1,k 1 a11 a22 a33 ... ak 1,k 1 ak ,k a11 a22 a33 ak 1,k 1 ak ,k ak 1,k 1

22.

Вычисление определителей методом приведения к треугольному виду
Пример 6
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
1
3 1 3 1 3 3 1 1 3 1 1 3
1
1
1
3
1
1
1
1
1
3
3
1 3
1
1
1 3
1
1
1 1
3
1
1 3
1
1
0 8 2 2
0 8 2 2
0 2 8 2
0 8 2 2
0
2
2
0
0 2 2
0
0 2 2 0
1 1
3
1
0 2 0
2
1 1
1
3
0 0 2 2
1 1
1
3
1
1
3
1
0 2 8 2
0 0 10 2
0 0
2
2
1 1
1
3
1 1
1
3
0 2 2 8
0 2 2 8
0
0
2
10
0 0 2 10
0 0
0 12
0 0
2
2
1 2 2 12 48

23.

Свойства алгебраических дополнений
Доказательство.
a11 a12
ai1 ai 2
ak1 ak 2
an1 an 2
~
~
a13
ai 3
ak 3
an3
~
a1n
ain
,
akn
ann
a11 a12
ai1 a i 2
~
ai1 ai 2
an1 an 2
~
ak1 Ak1 ak 2 Ak 2 ... akn Akn
a13
ai 3
ai 3
an3
a1n
ain
ain
ann
akj aij , j 1,2,..., n.
~
0
ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ... ain Akn
ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ... ain Akn 0

24.

Свойства алгебраических дополнений

25.

Определитель произведения матриц
det A B det A det B
Доказательство.
det A B
a
A 11
a21
a11b11 a12 b21
a11b12 a12 b22
a21b11 a22 b21
a21b12 a22 b22
b11
a11
a11b12 a12 b22
a21
a21b12 a22 b22
a11
b11
a21
a11b12
a21b12
a
b11 0 b22 11
a21
b11 b22
a11
a12
a22
a22
a11
a21
a b a12 b21
A B 11 11
a21b11 a22 b21
a12
b
b
, B 11 12
a22
b21 b22
b21
a11b11
a11b12 a12 b22
a21b11
a21b12 a22 b22
a12
a11b12 a12 b22
a22
a21b12 a22 b22
a12 b22
a
b21 12
a
a22 b22
22
a12
a
b21 b12 12
a22
a22
a
b21 b12 11
a21
a12 a11
a22 a22
a11b12
a21b12
a11
a21
a12
a22
a12
a22
a11b12 a12 b22
a21b12 a22 b22
a12 b21
a11b12 a12 b22
a22 b21
a21b12 a22 b22
a12 b22
a22 b22
0
b11 b22 b21 b22
det A det B.