Нелинейно - оптические эффекты в волоконных световодах (лекция 8)

1.

Нелинейно-оптические эффекты в волоконных
световодах
30

2.

Моды световодов
Слева: распределение электрических полей мод в плоском
световоде, справа: условное геометрическое изображение
хода лучей
Профили интенсивности поперечных линейнополяризованных мод сердцевины волокна. Слева направо:
моды LP01, LP11, LP02.
30

3.

Анализ мод в волоконных световодах
Рассмотрим
аксиально
симметричную
задачу
с
показателем преломления следующего вида:
n1 , a,
n
n1 > n2
(1-8)
n2 , a.
Такой профиль показателя преломления можно сделать
технически. С помощью уравнения Гельмгольца рассмотрим
свет в среде с показателем преломления (1). Электрическое
поле световой волны в такой среде имеет поперечную
компоненту Ex,y и продольную Ez.
Выберем в качестве основной компоненты продольную Ez.
Решение для продольной компоненты удобно искать в
полярных координатах, в виде
Ez , , z AF eim e i z .
(2-8)
Решение для поперечных компонент может быть найдено из
решения для продольной из уравнений Максвелла. Причём,
продольная компонента поля меньше поперечной в корень
квадратный из Δ=(n12- n22)/2n12 раз.
Подставляя (2-8) в у-е Гельмгольца получим уравнение
d 2 F 1 dF 2 m 2
k 2 F 0 .
2
(3-8)
d
d
Здесь
k 2 n2k02 2 ; k 0 2 .
(4-8).
С учётом зависимости n от координат получим
различные уравнения внутри и снаружи волновода.
“Внутри” уравнение аналогично (3) с заменой n на n1.
30

4.

“Снаружи” сердцевины у-е для F запишем в ином виде:
d 2 F 1 dF 2 m 2
2 F 0
(5-8)
d 2 d
2
2 2
n
2 k0
Здесь
.- постоянная распространения
во внешней оболочке
(6-8)
Решение уравнений (3)–(4) и (5)-(6) – цилиндрическая
функция Zm( ), которая представима в виде линейной
комбинации функций Бесселя и Неймана внутри сердцевины
волновода и модифицированных функций Ганкеля и Бесселя
вне. Из условия ограниченности физического решения для поля
в нуле (на оси волновода) мы получаем нулевой коэффициент
перед функцией Неймана. Из условия спадания поля на
бесконечности мы отбрасываем также лишнее слагаемое (с
модифицированной функцией Бесселя) для решения вне
сердцевины (“кора”).
Это значит, что физическое решение для поля в волноводе
можно записать в виде:
J m k , a,
F
.
K m , a.
(7-8)
Снаружи решение записано в виде “модифицированной
функции Ганкеля” (или “функции Макдональда”), которая
удовлетворяет “модифицированному уравнению Бесселя” (5-8)
и экспоненциально спадает на бесконечности.
Неизвестным остаётся и коэффициенты перед функциями
Бесселя и Макдональда. Для их нахождения используют
граничные
условия
непрерывности
тангенциальной
составляющей полей E и H на границе. Эти условия означают
непрерывность Ez и Hz, а также E и H на границе ρ=a.
41

5.

Таким образом, неизвестные амплитудные коэффициенты и
находится из условий на границе a . Эти условия дают
уравнения для определения постоянной распространения:
( J m ' ka / kJm ka K m ' a / K m a )( J m ' ka / kJm ka
K m ' a n22 / n12 K m a )
(m k0 (n12 n22 ) / ak n1
(8-8)
Уравнение (8-8) – уравнение на поиск . Для каждого значения
m в общем случае существует набор решений (8-8): mn. Каждое
такое решение даёт постоянную распространения моды в световоде.
При m=0 имеем набор TE и TM мод. Для m отличного от нуля
имеем гибридные моды, для которых все 6 компонент полей (E и H)
ненулевые.
Число мод, распространяющихся в световоде определяются
величиной радиуса, длиной волны и показателями преломления.
Существует критическая частота (длина волны) для каждой моды,
при котором мода ещё удерживается в волноводе.
Граничное значение kcr , при котором в волноводе будет
распространяться только одна мода, определяется соотношением
kcr a 2.401 , что соответствует первому нулю функции Бесселя
нулевого порядка (решению уравнения (8-8) при m=0, 0 ):
J 0 kcr a 0
Из уравнений (9) и (7) получаем (при
kcr 2 n12 n22 k02 .
0)
(9-8)
(10-8)
32

6.

2
2
Введём параметр V k0 a n1 n2 , который является аргументом
функции Бесселя для критического параметра kСК, и связан с числовой
апертурой волоконного световода (NA= n1 n2 ). Выражение для числовой
апертуры находится, в свою очередь, из минимального угла падения в световод,
при котором свет ещё удерживается внутри (граничный угол падения на
боковую поверхность световода Θin определяется через граничный угол
полного внутреннего отражения от плоской границы раздела двух сред с
показателями преломления n1 и n2 ).
2
sin in
n
2
1
2
n22 ,
(11-8)
При V Vc 2.401
(12-8)
в световоде будет распространяться только одна мода. Для характерных
параметров световода a 4 мкм , n1 n2 5 10 получаем, что он остаётся
одномодовым для длины волны 1.2 мкм .
Вообще выбор длины волны для передачи излучения по световоду связан с
условием минимальности потерь на рассеяние и поглощение, а также
минимальности дисперсии. В кварцевых световодах обычно используют
излучение в диапазоне ~ 1.3 1.5мкм , где наименьшие потери на
поглощение и рассеяние.
Отметим, что в рассматриваемом диэлектрическом волноводе всегда
распространяется хотя бы одна мода, поскольку внешний диаметр оболочки мы
никак не ограничили (при очень малом диаметре сердцевины мода будет
вылезать за пределы кора с радиусом a, но оставаться волноводной с учётом
оболочки).
Задача: Определить максимальный радиус одномодового волоконного
световода для света на длине волны 2 мкм, если его числовая апертура NA=10-3
3
33

7.

МОДУЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СВЕТОВЫХ
ВОЛН В СВЕТОВОДАХ
При наличии нелинейности и/или поглощения амплитуда
моды (A – в уравнении 2) становится функцией координат и
времени.
Для амплитуды широкополосной волны при наличии
электронной керровской нелинейности можно получить
следующее уравнение:
A 1 A
2 A
2
i 2 2 A ik n2 A A
z vg t
t
Где
2
2 2
(13-8)
.
Если перейти к новым переменным z и
T = t – z/vg
то в новых переменных уравнение (13) запишется как:
A
2 A
2
i 2 2 A ik n2 A A
z
T
(14-8)
Это уравнение описывает, в частности, самомодуляцию (или
нелинейное уширение спектра).
33

8.

Другой эффект – модуляционная неустойчивость.
Пусть поглощение мало (α=0). Тогда решение у-я (14) можно
искать в виде:
A ( A0 A1 exp(i T isz )
A 1 exp( i T isz )) exp(ik n 2 A0 z ) ,(15-8))
2
то есть ищем модуляцию с частотой Ω.
Корни характеристического у-я:
s 2 2 sign( 2 )
2k n2 A0
2
2
,
(16-8)
Из (16) следует, что при положительных β2 решение – чисто
действительное. В этом случае модуляция не нарастает.
Если β2 отрицательное, то решение для s имеет корень
отрицательной мнимой частью. В этом случае модуляция
нарастает
–
модуляционная
неустойчивость.
Есть
оптимальная частота неустойчивости.
opt
k n2 A0
2
,
(17-8)
33

9.

Генерация “суперконтинуума”
Суперконтинуум — когерентное электромагнитное
излучение со
сверхшироким спектром. Обычно суперконтинуумом называют излучение,
спектр которого перекрывает более одной октавы (восьмой части диапазона)..
33

10.

Модовая неустойчивость в мощных
волоконных лазерах
В волоконных лазерах генерируется, как правило, одномодовое (по
поперечному индексу) излучение.
R
b
2a
С ростом диаметра сердцевины появляются дополнительные
(вытекающие) моды, которые слабо удерживаются в сердцевине
волокна. Однако при дальнейшем росте мощности накачки
происходит нарастание более высоких мод за счёт нелинейной
перекачки энергии из основной моды в моды более высокого порядка.
33