Системы счисления. Математические основы информатики. (8 класс)

1.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ИНФОРМАТИКИ

2.

Для записи чисел в позиционной системе
с основанием n используется n цифр.
Основание
Система
Алфавит
n=2
двоичная
0 1
n=3
троичная
0 1 2
n=8
восьмеричная
0 1 2 3 4 5 6 7
n = 16
шестнадцатеричная
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1011012 36718 3B8F16

3.

Перевод
в десятичную систему счисления
Например, число 2113 содержит в себе
1 единицу, 1 тройку и 2 девятки.
2113 = 2∙32 + 1∙31 + 1∙30 = 18 + 3 + 1 = 2210
Аналогично переводятся и дробные числа.
101,112 = 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 + 1∙2-1 + 1∙2-2 =
= 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 5,7510.
Перевод осуществляется разложением
по степеням основания

4.

Двоичная
система счисления
Двоичной системой счисления называется позиционная
система счисления с основанием 2.
Двоичный алфавит: 0 и 1.
Для целых двоичных чисел можно записать:
an–1an–2…a1a0 = an–1 2n–1 + an–2 2n–2 +…+ a0 20
Например:
100112 =1 24+0 23+0 22+1 21+1 20 = 24 +21 + 20 =1910
Правило перевода двоичных чисел
в десятичную систему счисления:
Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих
единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

5.

Восьмеричная система
счисления
Восьмеричной системой счисления называется
позиционная система счисления с основанием 8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
an–1an–2…a1a0 = an–1 8n–1+an–2 8n–2+…+a0 80
Пример: 10638 =1 83 +0 82+6 81+3 80=56310.
Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную
систему счисления следует перейти к его развёрнутой
записи и вычислить значение получившегося выражения.

6.

Шестнадцатеричная
система счисления
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
3АF16 =3 162+10 161+15 160 =768+160+15=94310.

7. Задание

Перевести числа в десятичную систему счисления.
1101012, 34,25, 2А3,816.
5 43 21 0
1101012 = 1∙25 + 1∙24 + 0∙23 + 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 = = 32 +
16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310
1 0 -1
34,25 = 3∙51 + 4∙50 + 2∙5-1 = 15 + 4 + 0,4 =19,410
2 1 0 -1
2А3,816 = 2∙162 + 10∙161 + 3∙160 + 8∙16-1 =
= 512 + 160 + 3 + 0,5 = 675,510

8.

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16
Десятичная
система
Двоичная
система
Восьмеричная
система
Шестнадцатеричная
система
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
17
10001
21
11
18
10010
22
12

9.

«Компьютерные» системы счисления
Двоичная система используется в компьютерной
технике, так как:
двоичные числа представляются в компьютере с
помощью простых технических элементов с двумя
устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только
двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат,
обеспечивающий логические преобразования
двоичных данных.
Двоичный код удобен для компьютера.
Человеку неудобно пользоваться длинными и
однородными кодами. Специалисты заменяют
двоичные коды на величины в восьмеричной
или шестнадцатеричной системах счисления.

10.

Вопросы и задания
1 (№ 25). Запишите алфавиты следующих
позиционных систем счисления:
Система
счисления
Десятичная
Восьмеричная
Пятеричная
Троичная
Алфавит

11.

Вопросы и задания
2. Запишите в развёрнутом виде числа:
а) 143,51110 = 1∙102+4∙101+3∙100+5∙10-1+1∙10-2+1∙10-3
б) 1435118 = 1∙85+4∙84+3∙83+5∙82+1∙81+1∙80
в) 14351116 = 1∙165+4∙164+3∙163+5∙162+1∙161+1∙160
г) 1435,118 = 1∙83+4∙82+3∙81+5∙80+1∙8-1+1∙8-2
3. Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел:
а) 1728 = 1∙82+7∙81+2∙80=12210
б) 2ЕА16 = 2∙162+14∙161+10∙160=74610
в) 1010102 = 1∙25+0∙24+1∙23+0∙22+1∙21+0∙20=4210
г) 10,12 = 1∙21+0∙20+1∙2-1=2,5
д) 2436 = 2∙62+4∙61+3∙60=9910

12.

Вопросы и задания
4. Укажите, какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16
является:
а) наибольшим
б) наименьшим
5. Какое минимальное основание имеет система
счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241?
Определите десятичный эквивалент данных чисел в
найденной системе счисления.

13.

Вопросы и задания
6. Верны ли следующие равенства?
а) 334 =217
б) 338 =214
7. Найдите основание х системы счисления, если:
а) 14x=910
б) 2002x=13010

14.

Опорный конспект
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты
определённые правила записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит - совокупность цифр системы счисления.
Система счисления
Позиционная
Двоичная
Восьмеричная
Десятичная
Непозиционная
Римская
Шестнадцатеричная
В позиционной системе счисления с основанием q любое число
может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1 qn–1 + an–2 qn–2 +…+ a0 q0 + a–1 q–1 +…+ a–m q–m).

15.

Домашнее задание
§1.1.2;
№ 27, 29, 30, 34 в рабочей тетради,
№ 4, 6 из презентации