Математика – великая и разная (лекция 2)

1.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Введение в современные
проблемы физики
С.Е.Муравьев, А.С.Ольчак
кафедра теоретической ядерной физики
кафедра общей физики
1

2.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Лекция 2. Математика – великая и разная. Брахмагупта, АльХорезми – отрицательные числа и позиционная система
счисления. Способы создания математических теорий –
теория групп, векторный язык, комплексные числа. Великая
теорема Ферма. Геометрия Лобачевского. Математика в
курсе подготовки физиков в НИЯУ МИФИ
2

3.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
План лекции:
Математика:
цели,
принципы,
структура.
Примеры
математических теорий. Великая теорема Ферма. Векторная
алгебра, комплексные числа, кватернионы. Галуа и теория
групп. Математика в мифистском курсе подготовки физиков.
3

4.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Сегодня мы поговорим о математике.
Но говорить о ней мы будем как о языке
физики. Дело в том, что в программу обучения физиков в МИФИ входят несколько
очень важных для приложений математических курсов, но студенты, не понимая цель
каждого из них, часто теряют главное содержание курсов. Или, другими словами, вопрос
«зачем нужен этот курс», заслоняется чисто
техническими вопросами изучения теорем
или примеров, которые в такой ситуации
выучить очень трудно.
4

5.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Но сначала один пример. В середине 15 века в
Европе стали возникать типографии, и стали
печататься
первые
книги.
Коммерческий
характер – печаталось то, что продавалось. Так
вот, 90% всей продукции составляла церковная
литература (богатый заказчик), а 90 % от остатка
(т.е. 9% от общего тиража) составляли книги по
математике! Люди покупали: купцы, торговцы,
ремесленники – всем была нужна математика.
(В Европе использовались только алфавитные
системы счисления типа римской. Очень
неудобно - умножьте, например, MDCCLXXXIII и
CDXLII).
5

6.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Но в 6-7 веках н.э. Ариабхата и
Брахмагупта - позиционная система
счисления.
9 век Аль-Хорезми «Китаб ал-Джебр
валь-Мукабаля»
позиционная
система, методы решения линейных
уравнений.
Переведена на латынь в середине 12
века и оказалась востребованной
купцами и бухгалтерами.
Книги по математике, а не детективы
или любовные романы, стали очень
быстро распространяться в Европе.
6

7.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Но сначала о математике вообще.
Что это такое.
Но как физики.
Пример. Первобытные люди. Племя.
Вождь считает добычу (и от этого зависит благополучие племени!).
Одна группа принесла двух убитых оленей, вторая одного, остальные –
ничего…
Вождь сложил оленей «в кучку» и с помощью пальцев посчитал «одиндва-три» оленя.
Это математика? Или нет?
7

8.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Еще ходили за зайцами.
Одна группа принесла трех зайцев, вторая – одного, третья – четырех.
Вождь с помощью пальцев посчитал «один-два-три-четыре-пять-шестьсемь-восемь» зайцев.
Это математика? Или нет?
Если было так, как это описано выше – нет!
Математика начинается там, где математические объекты «отрываются»
от физических.
Если вождь считал независимо от предметов, которые они «считали», а
потом «приделывал» предметы, то это математика. Настоящая!
Математика – это абстракция!
8

9.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
В 1832 г. в парижском ресторане молодой французреспубликанец повздорил с группой молодых французовроялистов. Потом была дуэль, на которой республиканец
погиб. Ему было 20 лет… В ночь перед дуэлью он
записал основные положения своей теории, закончив их
словами: «у меня слишком мало времени».
Звали его Эварист Галуа, а создал он новую математику
– теорию групп. Галуа ввел новые математические
объекты, дал правила действий с ними и установил ряд
их свойств. За год до дуэли Галуа послал небольшие
заметки о своей теории Коши, Фурье и Пуассону. Коши
заметку Галуа потерял, Фурье неожиданно умер, а
Пуассон прочитал … и ничего не понял:
9

10.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
«… мы сделали все от нас зависящее, чтобы понять доказательство г-на
Галуа. Его рассуждения не обладают достаточной ясностью для того,
чтобы мы могли судить об их точности». Казалось, что теория Галуа –
некая «игра ума», что-то, существующее внутри себя, и никому не будет
нужна. Но брат Эвариста Альфред и его друг Огюст Шевалье добились
публикации всего, написанного Эваристом, и его труды не забылись.
А через 10-15 лет стало понятно, что абстрактный язык теории групп
оказался созвучным определенным преобразованиям некоторых
уравнений и поэтому позволяет исследовать свойства их решений без
решения самих уравнений.
10

11.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
После французов Лиувилля и Жордана, англичанина
Кэли, и норвежца Ли, которые развили работы Галуа,
облик
всей
математики
преобразился.
Многие
математики называют теорию групп второй (после
анализа) самой значительной математической идеей.
А в середине 20 в. оказалось, что теория групп
позволяет исследовать свойства решений уравнений,
описывающих элементарные частицы, при том, что
даже сами уравнения нам неизвестны. И потому все
физики бросились изучать эту математику. И с ее
помощью получали новые физические результаты. Так
что
теория
Галуа
оказалась
исключительно
востребованной в физике.
11

12.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Но иногда математика создается не так.
Математики
«подсматривают»
математику
у
природы и строят математику, нужную в жизни.
В 19 веке у Гаусса и Гамильтона появился вектор,
направленный отрезок, который можно складывать с
другим вектором с помощью странного правила.
Но это же вопрос определений! Зачем нужно такое
странное правило.
Можно по-другому?
Можно! Но не будет связано с жизнью. Правило
параллелограмма подсмотрели у природы.

13.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Пусть сначала на тело массой 1 кг действует сила 1
Н, направленная «на северо-восток», а потом сила 2
Н, направленная «на восток». Тогда ускорение тела
в первом случае будет направлено на северо-восток
и равно по величине 1 метр в секунду в квадрате. Во
втором случае ускорение тела будет направлено на
восток и равно 2.
А что будет, если на тело действуют две этих силы
вместе? КАК ПОКАЗЫВАЕТ ОПЫТ, ускорение тела
можно найти по правилу параллелограмма. Таким
образом, силы – это объекты, которые складываются по правилу параллелограмма. А сила тока –
нет!

14.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Гамильтон
занимался
не
только
векторами. Он придумал хорошее
обоснование комплексных чисел и
совершенно
новые
объекты
–
кватернионы. Давайте о комплексных
числах немного поговорим. Часто
говорят так: давайте введем число i,
которое является корнем из -1. У
любого нормального человека сразу
возникает вопрос – но такого числа нет!
Поэтому все не так. И давайте
поговорим о комплексных числах понастоящему.

15.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Итак, назовем комплексным числом пару действительных чисел (a, b) , причем
число a будем называть действительной частью комплексного числа, а число
b - мнимой частью комплексного числа. Следующим образом определим
арифметические операции для этих пар:
(a, b) (c, d ) (a c, b d ) , (a, b) (c, d ) (a c b d , a d b c)
И соответствующие обратные операции – вычитание и деление. Из этих правил
видно, что если пары имеют нулевую вторую компоненту, то для них будут
справедливы все правила действия с обычными числами
(a, 0) (b, 0) (a b, 0) , (a, 0) (b, 0) (a b, 0) ,
(a, 0) (b, 0) (a b, 0) , (a, 0) : (b, 0) (a : b, 0)
Отсюда заключаем, что множество всех действительных чисел является
подмножеством множества всех комплексных чисел и в нем сохраняются все
арифметические операции с действительными числами.
15

16.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
А теперь корни. Легко проверить из определения арифметических операций с
комплексными числами, что
a , 0 , если a 0
(a, 0)
0, a , если a 0
Таким образом, в области комплексных числе корень из отрицательного
действительного числа существует, но он не является числом действительным.
Если ввести обозначение - i (0,1) , то любое комплексное число можно
записать в виде (a, b) a ib , и все арифметические с комплексными числами
проводить так, как будто эта запись обозначает сумму и произведение трех
обычных чисел, но i 2 1 .
16

17.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Комплексные числа оказались исключительно востребованными в физике, благодаря
удивительной формуле
ei cos i sin
где - произвольное действительное число. Эту формулу, которую впервые получил (с
ошибкой в знаке помощник Ньютона Роджер Котс) мы сейчас называем формулой Эйлера.
Эйлер доказал эту формулу, раскладывая экспоненту, синус и косинус в ряды Тейлора и
сравнивая правую и левую части.
Наряду с обоснованием комплексного анализа Гамильтон придумал кватеринионы,
объекты, которые представляют собой четверки действительных чисел. А комплексные
числа и действительные числа входят в множество кватернионов как подмножества.
Гамильтон придумал правила действия с кватернионами, нашел их основные свойства. Ему
казалось, что эти объекты окажутся востребованными в физике. А оказалось, что никому не
нужны…
17

18.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Иногда математики создают математику
ради математики.
Но она тоже очень нужна человечеству
18

19.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
19

20.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
20

21.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Ферма родился в 1601 г. Был юристом.
Советником парламента. Математикой занимался
в свободное время. Знал 10 языков, был знатоком
античности. Это все, что мы о нем знаем.
И началась жизнь теоремы.
Кто только не пытался ее доказать — всё тщетно!
Сам Ферма оставил доказательство для n=4.
Леонард Эйлер (1707–83) доказал для n=3, после
чего, предложил устроить обыск в доме Ферма.
В XIX веке новые методы позволили доказать
теорему для многих целых степеней, но общего
доказательства не было.
21

22.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Не было ни одного (!) выдающегося математика, который не пытался бы
ее доказать.
И который не «сломал бы зубы».
Эйлер, Гаусс, Пуанкаре…
Лучшие математики и сложнейшие методы. А теорема стояла! Несмотря
на «школьность» формулировки и слова Ферма о доказательстве…
А с 19 века началась новая жизнь Великой теоремы. Начались попытки
доказательств любителями. Журналы начали стонать от вала
доказательств. Редакции объявили, что доказательства теоремы не
рассматриваются. И сегодня Великая теорема Ферма держит рекорд по
числу неверных доказательств!
22

23.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
В 1908 году была учреждена премия в размере 100000 марок за
доказательство (немецкий промышленник Пауль Вольфскель).
Были и другие меценаты.
В конце XX столетия мощнейшие компьютеры военных лабораторий в
Лос-Аламосе были запрограммированы на решение задачи Ферма
перебирали числа, но не смогли найти контрпример.
И мы все уже были уверенны, что теорема никогда не будет доказана, и
какой-нибудь контрпример с огромными числами существует…
Как вдруг… Как гром среди ясного неба…
23

24.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
В 1994 году (через 357 лет после формулировки)
английский математик Эндрю Уайлс (1953 г.р.),
опубликовал доказательство Великой теоремы
Ферма, которое, после некоторых доработок, было
признано исчерпывающим. Доказательство заняло
более ста журнальных страниц и основывалось на
использовании современного аппарата высшей
математики, который в эпоху Ферма разработан не
был. Теперь с полной уверенностью можно
утверждать: что Теорема верна, и, как сказал Эндрю
Уайлс: «Теперь ум мой спокоен». А мы все знаем, что
Эндрю Уайлс – это великий математик планеты
Земля. И наш современник!
24

25.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
25

26.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
А интересно, было доказательство у Ферма
или нет?
И чему нас это учит? Ведь это какая-то игра
ума!
На хлеб эту теорему точно не намажешь!
Доказательства не было!
Ничему не учит!
На хлеб не намажешь!
Но и такая математика нам нужна.
Но не физикам!
26

27.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Ведь если у математики нет приложения к жизни, то
она интересна только тому, кто ее придумал.
Во Франции в середине 20 века существовала школа
чистой математики.
Выдающиеся математики! Мощная школа. Писали под
псевдонимом Н.Бурбаки. Нигде не ставилась задача
связать математику с жизнью. Только математика!
И когда один из крупнейших математиков ХХ века
В.И.Арнольд переехал из СССР во Францию и
набирал себе группу молодых математиков…
27

28.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
«Заходит молодой человек. Спрашиваю. Сколько будет
2+3? Отвечает, 3+2 поскольку сложение коммутативно
(перестановочно).
Заходит второй. Спрашиваю, сколько будет 2*3.
Отвечает, 3*2 поскольку умножение коммутативно
(перестановочно). Переспрашиваю – а чему же все-таки
это равно – они не понимают».
А какой же ответ на вопрос «чему равно 2+3?»
правильный? Правильны оба, а ответ зависит от того,
чего хотим. Но, как сказал Арнольд, мне все-таки ближе
ответ, что это равно 5 или 6, и математика существует не
ради математики, а ради жизни. Или, другими словами,
математика должна быть … частью физики!
28

29.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
И в качестве последнего примера построения
математики рассмотрим 5 постулат Евклида.
Начала Евклида основаны на 5 аксиомах. Четыре
из них очевидны, а вот пятый – если на плоскости
при пересечении двух прямых третьей сумма
внутренних односторонних углов меньше двух
прямых углов, то эти прямые при достаточном их
продолжении пересекутся и притом с той стороны,
с которой эта сумма меньше двух прямых углов –
не давал покоя математикам. Было множество
попыток доказать пятый постулат. Но всегда
оказывалось, что какое-то другое утверждение
бралось в качестве постулата.
29

30.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Но раз нельзя доказать, давайте откажемся. И мы
получим другую геометрию. Какую? Ведь, казалось
бы, он правильный? Это нехорошее слово. Другую!
И несколько человек – Гаусс, Бойяи и Лобачевский
– от него отказались. В их геометрии через точку
вне прямой, можно провести хотя бы две
параллельные прямые.
Лобачевский понимал, что такая геометрия может
существовать, если наш мир – искривленный. И
когда Эйнштейн построил теорию относительности,
всем стало ясно, что в сильных гравитационных
полях пространство искривляется и именно
геометрия Лобачевского является реальной.
30

31.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Перейдем теперь к нашей «мифистской» математике
Первый семестр - математический анализ и аналитическая геометрия.
Задача анализа – исследование функций. Метод – исследование
тенденции их приращений при бесконечно малых приращениях
аргументов.
Построение касательной к графику или нахождения скорости изменения,
или нахождения экстремумов функции.
Построение касательной и нахождение площади – обратны друг по
отношению к другу. Поэтому умение строить касательные позволяет
находить и площадь под графиками функций (это процедура называется
интегрированием).
31

32.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Аналитическая геометрия. Что это за дисциплина? Давайте вспомним
школьную геометрию. Это теоремы. Доказательства – геометрические:
найти одинаковые углы, увидеть подобие каких-то треугольников и т.д.
Отсутствие четкого алгоритма – нужно что-то выдумывать. Алгебра проще, поскольку алгоритмизуется. Идея аналитической геометрии –
перенести геометрическое рассмотрение на язык алгебры. Изучать не
геометрические объекты, а их уравнения! Система координат.
Такое же упрощение делается для исследования векторов – работа с
картинками заменяется на работу с их проекциями на оси координат.
Особое внимание уделяется кривым и поверхностям второго порядка,
уравнения которых квадратичны.
Оба курса крайне важны для физики!
32

33.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Во втором семестре продолжается курс математического анализа.
И изучается курс линейной алгебры. Важнейший для физиков! В каких-то
аспектах даже более важный, чем математический анализ.
Что же такое линейная алгебра? Это и системы линейных уравнений. И в
связи с этим - матрицы, определители и т.д. Абстрактные линейные
пространства. Линейные операторы и их матрицы. Уравнения на
собственные значения. Все эти понятия нужны в квантовой механике,
поскольку ее краеугольным камнем являются утверждения, что волновые
функции образуют линейное пространство, каждой величине
соответствует оператор, а наблюдаемыми являются собственные
значения этого оператора. Таким образом, понять квантовую механику без
линейной алгебры невозможно. А квантовая механика – язык физики!
33

34.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
На третьем семестре студенты продолжают
изучать математический анализ, к которому
добавляется тензорный анализ. Вообще
тензором называется многомерный массив
чисел, зависящих от выбора системы координат и определенным образом преобразующихся при преобразовании координат.
Умение работать с тензорными величинами
важно в теории поля, теории упругости,
теории относительности и других разделах.
34

35.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
На 4 семестре студенты продолжают изучать математический анализ и
одновременно слушают важнейший курс дифференциальных уравнений.
Дифференциальными называются уравнения, в которые неизвестные
функции входят вместе со своими производными. Важность этого курса
для физики определяется тем, что ВСЕ физические уравнения являются
такими - поскольку они связывают значение искомой функции со
скоростями или градиентами ее изменения. При изучении этого курса
важно не только прорешать значительное число примеров; здесь очень
важна и общая теория таких уравнений. Студенты должны понимать,
когда и какие уравнения имеют решения, и сколько решений может быть у
дифференциального уравнения, могут ли решения иметь особые точки и
какие.
35

36.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
На 5 семестре студенты слушают курсы теории вероятности, уравнений
математической физики и теорию функций комплексного переменного. Курс
теории вероятности является достаточно простым и, как правило, не вызывает
трудностей у студентов.
Курс уравнений математической физики посвящен решению уравнений в частных
производных. Такие уравнения решаются в очень ограниченном числе случаев, и
существует единственный метод их решения – метод разделения переменных. В
курсе уравнений матфизики на примере ряда конкретных уравнений изучаются
возможности метода.
Теория функций комплексного переменного - обобщение матанализа на случай
комплексных функций комплексного переменного. По сравнению с обычным
анализом здесь возникает ряд особенностей, связанных с аналитическим
продолжением и со связью свойств функций с их поведением вблизи особых
точек. Курс важен для физиков, но, скорее, только для теоретиков.
36

37.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
Вот таким является курс высшей математики для физиков, причем,
скорее, для экспериментаторов, чем теоретиков. По сравнению с
перечисленными курсами теоретики слушают курсы
топологических методов в физике,
современной геометрии,
теории групп,
нелинейных дифференциальных уравнений.
В любом случае по этому обзору видно, что все математические курсы
для студентов НИЯУ МИФИ являются весьма практическими и
востребованными в физической и инженерной работе. Поэтому все
курсы математики нужно изучать!
37

38.

От Архимеда до Басова - наука, техника, технологии
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
38

39.

«Вторая история человечества»
1.
На сайте coursera.org
2.
Небольшие «эпизоды» - 10-12 минут.
3. Как посмотреть:
А.
зайти на сайт https://www.coursera.org/
Б.
зарегистрироваться (нажать «Зарегистрироваться»,
ввести ФИО, электронный адрес, пароль. Нажать
«Зарегистрироваться»).
В.
По поиску найти «Вторая история человечества». В
него нужно войти и нажать «зарегистрироваться».
Г. Сайт предложит «приобрести курс» (за деньги) или
«полный курс без сертификата». Второе - бесплатно.
39

40.

«Инженерная история цивилизации»
1.
На сайте coursera.org
2.
Небольшие «эпизоды» - 10-12 минут.
3. Как посмотреть:
А.
зайти на сайт https://universarium.org
Б.
зарегистрироваться
В.
По поиску найти курс «Инженерная история
цивилизации».
Г. Курс является продолжением лекций С.Е.Муравьева и
А.С.Ольчака «Вторая история человечества» в инеженерных
аспектах: история дорог, кирпича, водопровода, канализации
и много другого.
40

41.

На
на
сайте reactor.space
размещена
С.Е.Муравьева «Веера Галилео Галилея»
книга
https://reactor.space/news/sergej-muravev-vo-chto-veryatfiziki/
Там же есть ее презентация и рассказ о ее основных
идеях.
41