Орталық шектік теорема. Ляпунов теоремасы

1. Орталық шектік теорема. Ляпунов теоремасы

2.

Сынау нәтижесінде мүмкін болатын мәндерден алдын-ала
белгісіз бір ғана мәнді тәжірбие нәтижесіне байланысты
қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деп атаймыз.
Кездейсоқ шамаларды X,Y,Z, бас әріптермен, ал олардың
қабылдайтын мәндерін x,y,z кіші әріптермен белгілейміз.
Мысалы, егер Х кездейсоқ шамасының қабылдай алатын
үш мүмкін мәндері бар болса, онда оларды х1, х2, х3 деп
белгілейміз. 3. Дискретті (үздікті) кездейсоқ шама деп
белгілі ықтималдықтары бар жеке, дербес мәндерді
қабылдай алатын шаманы айтамыз. Дискретті кездейсоқ
шаманың мүмкін мәндерінің саны ақырлы немесе ақырсыз
болуы мүмкін. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы
деп оның қабылдай алатын мүмкін мәндері шаманың мен
ықтималдықтарының арасындағы сәйкестікті айтамыз.
Оны кестелік түрде, аналитикалық (формула түрінде) және
графиктік түрде беруге болады.

3.

Дискретті (үздікті) кездейсоқ шама деп белгілі ықтималдықтары бар
жеке, дербес мәндерді қабылдай алатын шаманы айтамыз. Дискретті
кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны ақырлы немесе ақырсыз
болуы мүмкін. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы деп оның
қабылдай алатын мүмкін мәндері шаманың мен ықтималдықтарының
арасындағы сәйкестікті айтамыз. Оны кестелік түрде, аналитикалық
(формула түрінде) және графиктік түрде беруге болады. Дискретті
кездейсоқ таралу заңы кестелік түрде берілсе бірінші жолға мүмкін
мәндері, екінші жолға олардың сәйкес ықтималдықтары жазылады: Х х1
х2 ... xn Р Р1 Р2 Рn n ... pi 1 . Нормалдау шарты: i 1 4. Дискретті кездейсоқ
шаманың математикалық күтімі. Анықтама: Х кездейсоқ шамасының
қабылдай алатын барлық мүмкін мәндерімен оның сәйкес
ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысы дискретті кездейсоқ
шаманың математикалық күтімі деп аталады. Айталық, Х кездейсоқ
шамасы х1, х2,..., хn мәндерін қабылдай алатын болсын, олардың сәйкес
ықтималдықтары р1, р2,...,рn тең болсын. Онда Х кездейсоқ шамасының
математикалық күтімі былай анықталады: М(х)=х1р1+х2р2+...+хnрn.
Егер Х дискретті кездейсоқ шамасы санаулы жиынның мүмкін мәндерін
қабылдаса, онда M ( x) n x i 1 i ði

4.

5. Математикалық күтімнің қасиеттері 1.Тұрақты шаманың
математикалық күтімі өзіне тең, яғни С тұрақты болса: М(С)=C.
2.Тұрақты көбейткішті математикалық күтімнің алдына шығаруға
болады: М(СХ)=СМ(Х). 3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса,
онда көбейтіндінің математикалық күтімі көбейткіштердің
математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең: M ( XY ) M ( X )
M (Y ) 4. Екі кездейсоқ шаманың қосындысының математикалық
күтімі, қосылғаштардың математикалық күтімдерінің
қосындысына тең: М(Х+У)=М(Х)+М(У). 6. . Кездейсоқ шаманың
оның математикалық күтімінен ауытқуы Х-кездейсоқ шама және
М(Х)- оның математикалық күтімі болсын. Жаңа кездейсоқ шама
ретінде Х-М(Х) айырымын қарастырамыз. Анықтама: Кездейсоқ
шама мен оның математикалық күтімінің айырымы ауытқу деп
аталады. Ауытқу мынадай таралу заңымен беріледі: Х-М(Х) Х1М(Х) Х2-М(Х) ... Хn-М(Х) Р Р1 Р2 ... Рn Теорема: Ауытқудың
математикалық күтімі 0-ге тең: M X M ( x ) 0 7. Анықтама:
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы (шашылуы) деп
кездейсоқ шаманың математикалық күтімінен ауытқуының
квадратының математикалық күтімін айтамыз D( x) M X M ( x)

5.

Теорема: Дисперсия Х кездейсоқ шамасының квадратының
математикалық күтімі мен математикалық күтімнің квадратының
айырымына тең: D( x) M ( x ) M ( x) 2 2 8. Дисперсияның қасиеттері 1.С
тұрақты шамасының дисперсиясы 0-ге тең: D(С)=0. 2.Тұрақты
көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады
D(Cõ) Ñ 2 D( õ) 3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда
қосындының (айырманың) дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына
тең: D( X Y ) D( X ) D(Y ) 9. . Орта квадраттық ауытқу Кездейсоқ
шаманың орта мәнінің маңайындағы мүмкін болатын мәндердің
шашылуын бағалау үшін сипаттамалар да қарастырылады. Оған орта
квадраттық ауытқу жатады. Анықтама: Х кездейсоқ шамасының орта
квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбірін айтамыз: ( x) D(
x) 10. Таралу функциясы Х кездейсоқ шамасының сан осінде х-тің сол
жағында жататын мәндерді қабылдайтын ықтималдықты анықтайтын
функциясын таралу функциясы деп атайды, яғни F ( x) p ( X x) Кейде
“Таралу функциясы”(терминінің) орнына “Интегралдық функция” деген
термин де қолданылады. Таралу функциясының қасиеттері Таралу
функциясының мәндері [0; 1] аралығында жатады; F(x)-кемімейтін
функция, егер х2>x1 болса, онда , теңсіздігі орындалады. Салдар 1: Х
кездейсоқ шамасы (a,в) аралығында жататын мәндерді қабылдау
ықтималдығы таралу функциясының осы аралықтағы өсімшесіне тең,
яғни

6.

2-теорема. Айталық, ξ(1),ξ(2),...–тәуелсіз бірдей үлестірілген
кездейсоқ векторлар тізбегі, ξ(n) = (ξ1(n),ξ2(n),...,ξk (n)),
болсын. векторларын енгізелік. Онда кездейсоқ векторының
үлестірім функциясы n → ∞ кезде математикалық күтімі
нөлге, ковариациялық матрицасы матрицасы болатын
нормаль үлестірім функциясына әлсіз жинақталады.
Дәлелдеу. векторының сипаттамалық функциясын арқылы
белгілелік:, болғандықтан өлшемді сипаттамалық
функцияның белгілі қасиет бойынша Сондықтан да кез
келген t ∈ Rk үшін бұдан үзіліссіздік теоремасының көп
өлшемді нұсқасы бойынша Салдар. Айталық ξ(n) = (ξ1(n),
ξ2(n),...,ξk (n)) векторы табыс ықтималдығы p = (p1, p2,..., pk
) векторымен анықталған n сынаққа сәйкес полиномдық
кездейсоқ вектор болсын: Онда векторының үлестірімі n →
∞ кезде орта мәні нөлге, ковариациялық матрицасы
матрицасына тең болатын, мұндаҒы –Кронекер символы,

7.

• 4-теорема (Тәуелсіз әр түрлі үлестірілген кездейсоқ шамалар тізбегі
үшін орталық шектік теорема). Егер ξ1,ξ2 ,... тәуелсіз әртүрлі
үлестірілген кездейсоқ шамалар тізбегі үшін Линдеберг шарты
орындалса, онда ξ1,ξ2 ,... кездейсоқ шамалар тізбегі орталық шектік
теоремаға бағынады: (2) Теореманы дәлелдемес бұрын алдымен (L0)
және (2) шарттарын басқаша былай да жазуға болатынын атай кетелік
((L0) шартындағы IA − A оқиғасының индикаторы екенін еске
саламыз): (L0) мұндаҒы функциясыξk кездейсоқ шамасының
үлестірім функциясы, (2’) Егер (L0) шартының сол жағындағы
математикалық күтімдер барлық кеңістік бойынша алынса, онда әрине
Ln(ε) =1 болған болар еді: МаҒынасы бойынша Линдеберг шарты Dn
(қосындылық) стандартты ауытқудың сыртында жататын облыс
бойынша алынған ξk -лардың дисперсияларының бөліктерінің
қосындысы аса аз шама болуын талап етеді. Линдеберг шартын ары
қарай талқыламас бұрын шамасын шамаларының қосындысы ретінде
жазуға болатынын байқалық: (7) Енді біз жалпыландырылған есепті,
ξ1,ξ2 ,... кездейсоқ шамаларының орнына сериялар схемасындағы
тәуелсіз кез келген ξk,n , k =1,2,...,n , кездейсоқ шамаларын
қарастырсақ, онда шектік теореманы дәлелдеу барысында кездесетін
қиындықтар бұрынҒыдай болып қала беретінін байқаймыз. Біз бұл
жерде мұндай кез келген ξk,n , k =1,2,...,n , тізбегі үшін қосымша
келесі, (8) және (L)–шарттар орындалсын деп ұйғарамыз:

8.

5-теорема (Орталық шектік теорема). Егер тәуелсіз кездейсоқ
шамалар тізбегі (3) және (L) шарттарын қанағаттандырса, онда бұл
тізбек үшін Дәлелдеуі. Айталық, ϕk,n(t) функциясы k,n кездейсоқ
шамасының сипаттамалық функциясы болсын: kn(t)=M.Онда
Теореманы дәлелдеу үшін бізге енді сипаттамалық функциялар
әдісі бойынша шегі дұрыс болатынын көрсету жеткілікті.
Алдымен мынандай теңсіздіктердің дұрыстығын еске сала кетейік:
кез келген нақты α және кез келген теңсіздігін қанағаттандыратын
β үшін , (4) Мынаны байқалық: Mξk,n = 0 болғандықтан, (4)теңсіздіктердің екінші теңсіздігіне сәйкес Бұдан -қасиетті
пайдаланып, қатынасын аламыз. Сондықтан жеткілікті үлкен және
барлықүшін теңсіздігі дұрыс болады. Енді (4)-теңсіздіктердің
соңғысын β= k,n(t)-1 үшін қолданып (5) теңсіздігін аламыз.
Сонымен (6) Мұндағы үшінболғандықтан келесідей теңсіздіктер
тізбесін жаза аламыз: (n → ∞) Енді (6)-дағы алғашқы қосындыны
түрінде жазалық та, ρn → 0 (n → ∞) болатынын көрелік.

9.

шарттарын ескеріп және k,n(t) = Meitξk,n болатынын пайдаланып,
болатынын көреміз, ал ары қарай (4)-теңсіздіктердің ортаңғы екеуінің
негізінде мынадай теңсіздіктерді жаза аламыз:
Кез келген ε > 0 санын орындалатындай етіп алалық.
(L) шарты бойынша таңдап алынған ε үшін n ≥ n0 болған кезде
шартын қанағаттандыратын нөмірі табылады.
Сонымен, жеткілікті үлкен n үшін ρn < δ .
Айтылғандардан, әрбір t ∈ R үшін n → ∞ кезде
басқаша айтқанда болатынын аламыз.
Дәлелдеу керегі де осы еді
Теоремалардың бірнеше салдарларына тоқталалық.
1-салдар (Бірдей үлестірілген тәуелсіз кездейсоқ шамалар
тізбегі үшін орталық шектік теорема). Егер ξ1,ξ2,...− тәуелсіз
бірдей үлестірілген кездейсоқ шамалар тізбегі,
, Mξk = a, 0 < Dξk =σ 2 < ∞ болса, онда
Дәлелдеуі. Салдарды дәлелдеу үшін берілген жағдайда
Линдеберг шарты (L0) орындалатынын көрсету жеткілікті.
Бізде DSn = Dn2 = nσ 2, MSn = na
болғандықтан, n→ ∞ кезде
cебебі σ 2 = M (ξ1 − a)2 < ∞ , ал {x :\ x – a/ > εσ n}↓ ∅ , n → ∞ .

10.

2-салдар (Ляпунов теоремасы). 3-теореманың шартындағы ξ1,ξ2,...
тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі қандай да бір δ > 0 үшін ()
шартын (бұл шарт Ляпунов шарты деп аталады) қанағаттандырса,
онда бұл тізбек орталық шектік теоремаға бағынады. Дәлелдеу.
Бізге ( Λ ) шартынан (L0) шарты шығатындығын көрсету
жеткілікті. ε > 0 үшін былай жаза аламыз: бұдан , демек ( Λ )
шартынан (L0) шарты шығады. ▼ Егер мұндағы, белгілеулерін
енгізсек, онда Ляпунов теоремасын қысқаша былай тұжырымдауға
болады: Ляпунов теоремасы. Егер (n → ∞) болса, онда →Φ(x). 3салдар. Егер бірқалыпты шенелген ξ1,ξ2,... тәуелсіз кездейсоқ
шамалар тізбегі, яғни барлық k ≥1 және қандай да бір тұрақты C
үшін ≤ C шартын қанағаттандыратын ξ1ξ2 , , ... тәуелсіз кездейсоқ
шамалар тізбегі үшін (n→∞) шарты орындалса, онда мұндай
кездейсоқ шамалар тізбегі орталық шектік теоремаға бағынады.
Дәлелдеу. ≤ C<∞,≤ C болҒандықтан . Осыны ескерсек демек
(n→∞) Сонымен Линдеберг шарты орындалады, ендеше орталық
шектік теорема дұрыс.