Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля

1.

Формула бинома Ньютона.
Свойства биномиальных коэффициентов.
Треугольник Паскаля

2.

В теории многочленов часто
двучлены называют биномами.
Вычислите:
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4

3.

(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
Коэффициенты при a и b запишем в
виде треугольника.

4.

5.

Треугольник Паскаля – Это бесконечная числовая
таблица «треугольной формы», в которой по
боковым сторонам стоят единицы и всякое число,
кроме этих боковых единиц, получается как
сумма двух предшествующих чисел.

6.

Постройте треугольник Паскаля
для:

7.

8.

9.

Формула бинома Ньютона –
действительных чисел a, b и
натуральных чисел n:
n 1
( a b) C a C a b C a
n
C nk
0
n
n
1
n
2
n
n 2 2
b ... C
n 1
n
ab
n 1
для
для
всех
всех
n
C b Cnk a n k b k
n
n
n
k 0
n!
k!(n k )!
называют биномиальными коэффициентами, а так же числом сочетаний
n элементов по k.

10.

Свойства биномиальных коэффициентов.
Биномиальный коэффициент – коэффициент при смежных Z в разложении
бинома Ньютона. (a+b)n, где Z=akbn-k.
1 свойство: свойство симметрии:
2 свойство: свойство сложения:
C nk C nn k
C nk 1 C nk C nk 1
n k 1 n 1
n
n
Cn
C nk 1 C nk 11
k
n k
k
3 свойство:
C nk
4 свойство:
C nn m C kn m C kn C km n C km C kn m
n
5 свойство:
C
k 0
k
n
a k b nk (a b) n – это равенство формулы бинома Ньютона.

11. В классе 7 человек хорошо бегают, из них нужно выбрать 2 на соревнования. Сколькими способами это можно сделать?

1
1
1
1
2
3
1
3
1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
…

12.

Запишите разложение бинома (х-2)6

13.

Запишите разложение бинома (х-2)6