Анализ деформированного состояния. Физические уравнения упругости

1. Анализ деформированного состояния. Физические уравнения упругости

Тензору напряжений соответствует тензор деформаций, который
образован тремя линейными и шестью угловыми деформации.
Тензор деформации также приводится к диагональному виду
x
1
yx
2
1
xy
2
1
xz
2
y
1
yz
2
1
zx
2
1 0 0
1
zy 0 2 0
2
0 0 3
z
Здесь 1 , 2 и 3 - главные деформации. Они направлены
по трем главным осям, сдвиги между которыми равны нулю.

2. Дифференциальные зависимости между компонентами перемещений и компонентами относительных деформаций

U
x
;
x
V U
xy
x y ;
V
y
y ;
W V
yz
y z ;
W
z
;
z
U W
zx
.
z
x

3. Закон Гука для трехосного НС

Напряженное
состояние
задано
главными
напряжениями. Применим принцип независимости
действия сил .
1
2
3
1
E
1
1
E
E
2
E
2
E
3
E
3
2
3
E
E
E

4. Закон Гука для трехосного НС (продолжение)

1
1 1 2 3
E
1
2 2 3 1
E
1
3 3 1 2
E

5. Обобщенный закон Гука

1
x x y z
E
xy
;
1
y y z x ;
E
1
z z x y
E
;
xy
G ;
xz
yz
xz
G ;
yz
G .

6. Относительное изменение объема

dy+ dy)
dz+ dz)
dy
dz
dx+ dx)
dx
V1 V
V
V
V x y z
1 2
1 2
1 2 3
V
x y z
E
E

7. Удельная потенциальная энергия при одноосном растяжении

L
L EF
EF L2 P L
A P L d L
Ld L
L 2
2
0
0 L
x2 E x2
A P L 1 P L 1
a
x x
LF 2 LF 2 F L 2
2E
2

8. Удельная потенциальная энергия при чистом сдвиге

Axy
a xy
xy dFds xy ds
2dFdy
2 dy
xy xy
2
xy dFds
2
2
xy
2G
2
G xy
2

9. Удельная потенциальная энергия при трехосном напряженном состоянии

Каждая составляющая тензора напряжений производит работу только
на
своем
перемещении
(деформации).
Поэтому,
в
общем
случае
1
a xyz x x y y z z xy xy xz xz yz yz
2
Если все напряжения - главные, то удельная потенциальная энергия
равна
1 2
a123
1 22 32 2 1 2 1 3 2 3 .
2E

10. Удельная потенциальная энергия изменения объема и удельная потенциальная энергия изменения формы

a a0 aф
1 1 p ;
2 2 p ;
3 3 p

11. Удельная потенциальная энергия изменения объема

Чтобы изменение объема в дополнительном НС
1 2
V
1 2 3 0
E
необходимо, чтобы
1 2 3 0
1 2 3 1 2 3 3 p
1
p 1 2 3 ср
3
1
p
p p p 1 2
E
E
3
3 1 2 p 2
a0 p
2
2
E

12. Удельная потенциальная энергия изменения формы

1 2
1 2 3 2
a0
6E
aф a a0
1
2
2
2
a
1 2 3 2 1 2 1 3 2 3
2E
1
1 2 2 1 3 2 2 3 2
aф
6E

13. Связь между константами упругости E, G и μ

axy
xy2
2G
1 3
2
1
a13
12 32 2 1 3 1 1
2E
E
E
a xy a13
G
2 1