Признак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей

1.

m
m
m
A
Прямая лежит
на плоскости
Прямая и плоскость
не имеют общих точек
Прямая и плоскость
пересекаются

2.

Определение
Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек.

3.

4.

Теорема 1
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Дано:
c
Доказать:
Доказательство.
d

5.

Теорема 1
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Дано:
c
Доказать:
Доказательство.
F
d

6.

Теорема 1
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Дано:
c
Доказать:
Доказательство.
Противоречие.
F
d

7.

Теорема 1
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Дано:
c
Доказать:
Доказательство.
d
Противоречие.
Теорема доказана.

8.

Утверждение 1
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
Дано:
с
Доказать:
Доказательство.
a, b – лежат в
одной плоскости;
d
c и d не пересекаются;
Утверждение доказано.

9.

Утверждение 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной
плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости,
либо лежит в этой плоскости.
a
Дано:
Доказать:
b
Доказательство.
или
Утверждение доказано.

10.

B
Задача 1.
Дано:
C
C – середина AB;
Найти:
Решение:
A

11.

B
Задача 1.
Дано:
C
C – середина AB;
Найти:
Решение:
ΔABB1:
C – середина AB;
CC1 средняя линия ΔABB1;
A

12.

Задача 2.
B
Дано:
ABCD – трапеция;
KL – ср. линия трапеции;
K
Найти:
Пересекают ли прямые
BC и AD плоскость ?
C
L
Решение:
A
Ответ: Нет.
D

13. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Плоскости
Пересекаются
Параллельны
α
β
α
β
α∩β
α || β

14. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости

параллельны.
Дано: а ∩ b = М; а Є α; b Є α
а1∩ b1 = М1; а1Є β; b1Є β
a || a1; b || b1
Доказать: α || β
а
М
b
М1
b1
α
а1
β

15. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости

параллельны.
По признаку параллельности прямой и плоскости а || β и b || β.
Доказательство: (от противного)
а М
Пусть α ∩ β = с
1) Тогда а || β, т.к. a || a1, а1 Є β
а Є α; α ∩ β = с, значит а || с. α
2) b || β, т.к. b || b1, b1 Є β
а1 М
1
b Є α α ∩ β = с, значит b || с.
3) Имеем а || b, то есть
β
через точку М проходят
две прямые а и b,
параллельные прямой с.
Получили противоречие. Значит, α || β .
b
с
b1

16. Задача № 51.

Дано: т ∩ п = К, т Є α, п Є α,
т || β, п || β.
Доказать: α || β.
т К
α
β
п
с

17. Задача № 3.

Дано: т ∩ п = К, т Є α, п Є α,
т || β, п || β.
Доказать: α || β.
α∩β=с
1) Допустим, что ___________
п || β, т || β
2) Так как __________________,
т || с и п || с
то ______________________.
т К
α
п
с
β
3) Получаем, что
через
точку К проходят две прямые параллельные прямой с.
______________________________________________________.
α || β
Вывод:

18. Решите :

4. Плоскости α и β параллельны, причем плоскость α
пересекает некоторую прямую а. Докажите, что и плоскость
β пересекает прямую а.
5. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, точки
К, М, Р — середины отрезков АВ, АС, АD. Докажите, что
плоскости КМР и ВСD параллельны