Формулы логики

Содержание курса:
Раздел 2. Формулы логики
Тема 2.1: Логические операции. Формулы логики. Таблица
истинности
—Высказывания. Отрицание высказываний
—Конъюнкция и дизъюнкция
—Логические операции
—Формулы алгебры логики
Тема 2.2: Законы логики. Равносильные преобразования
—Законы логики
—Равносильные преобразования. Приведение формул к К.Н.Ф.
и Д.Н.Ф.

3.

Логические операции. Формулы
логики. Таблица истинности
Математика является наукой, в которой все истины доказывают с
помощью умозаключений. Поэтому для математики большое значение
имеют логические теории как средства построения математических
знаний (logos (греч.) – слово, понятие, рассуждение, разум).
Логика – это наука, изучающая методы доказательств и опровержений,
то есть методы установления истинности или ложности одних
высказываний (утверждений) на основе истинности или ложности других.

4.

1-й этап. Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах
Аристотеля (IVв. до н.э.) (впервые дал систематическое изложение логики)
2-й этап. Г. Лейбниц (конце 17 в.) предложил понятия логики
обозначить символами, которые соединялись бы по особым правилам.
Это позволяло всякое рассуждение заменить вычислением.
Первая реализация идей Г. Лейбница принадлежит английскому
математику Дж.Булю (1815-1864). Он создал алгебру, в которой буквами
обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний (или
булевой алгебре).
3-й этап связан с XX веком и попытками обосновать справедливость
математических доказательств, с исследованиями теории чисел, а также с
попыткой разрешить известные логические парадоксы.
Самым знаменитым следует считать парадокс лжеца, известный еще
со времен глубокой древности: Некто говорит: ’’я лгу’’.
Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и, следовательно,
он не лжет.
Если же он не лжет, то сказанное им есть истина, и следовательно, он
лжет.
В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно.

5.

Высказывание - всякое повествовательное предложение
естественного языка.
Высказыванию, которое описывает верное или неверное суждение о
факте, явлении или событии в определенных условиях времени и
места, присваивают значение «истина» или «ложь».
Примеры высказываний:
«3 – простое число» = истина
«3.14… – рациональное число» = ложь
«Сократ ─ человек» = ложь
«2+2=4» = истина
«5>7» = истина
Не являются высказываниями следующие предложения:
х>5 (здесь x − + ( ) и считается переменной.
Закройте книгу!
Данное предложение ложно.
Такие высказывания называют простыми или элементарными.

6.

Высказывания, которые на естественном языке создают из
элементарных высказываний с помощью грамматических связок «не»,
«и», «или», «если…, то…», «… тогда и только тогда, когда…» и т.п.
называют сложными.
Высказывания будем обозначать заглавными латинскими буквами и
этими же буквами с числовыми индексами (например, А, В2).
В логике высказываний отвлекаются от содержания высказывания и
интересуются либо ложностью, либо истинными значениями
высказывания.
Высказывание рассматривается как величина, которая может
принимать 2 значения: «истина» либо «ложь».
А=И (1) или А=Л (0).
Из высказываний можно образовывать другие высказывания,
соединяя их различными способами, т.е. производя операции над
высказываниями.

7.

Множество переменных Τ={A,B, C,…} и множество логических
операторов и отношений Σ={¬, &, , →, ↔} представляют алгебру
высказываний:
Α выск.=<Τ, Σ, И, Л>

8.

Логические операции над
высказываниями
V - или
& -и
¬ - не
→ - если…,то…
↔ - …тогда и только тогда, когда …
- истинно, когда истинные значения не совпадают; ложное – в
противном случае
На естественном языке символы математической логики называют так:
V (+) - дизъюнкция,
& ( *) - конъюнкция
¬ – отрицание
→ ( ) – импликация
↔ ( ~ ) – эквивалентность
- неравнозначность (исключающее ИЛИ, сложение по модулю 2)
Для
построения
более
сложных
высказываний
используют
вспомогательные символы «(», «)» – скобки.

9.

Путь обозначения элементарных высказываний А1, А2, А3, В1, В2,
Е1, Е2:
A1 = «3 – простое число»
A2 = «3 – вещественное число»
A3 = «3 – целое число»
B1 = «3,14… – рациональное число»
B2 = «3,14… – не рациональное число»
C = «Колумб открыл Америку»
D = «Киев – столица Узбекистана»
Е2 = «Число 6 есть сумма чисел 1, 2, 3
Определить:
(A1&A2) =
¬B1 =
(E1&Е2)=
(A3→ A2)=
(А1↔А2)=

10.

Пример 1:
Представить логическими формулами следующие высказывания:
- Сегодня понедельник или вторник
- Идет дождь или снег
- Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые
- Что в лоб, что по лбу

11.

Ответы:
Представить логическими формулами следующие высказывания:
- Сегодня понедельник или вторник (А
А)
- Идет дождь или снег (А V A)
- Если идет дождь (A), то крыши мокрые (B). (A → B)
Дождя нет (¬A), а крыши мокрые (B). (¬A & B)
(A → B) & (¬A & B)
- Что в лоб, что по лбу в лоб (А) по лбу (В)
А~ В

12.

Пример 2:
Представить логическими формулами следующие высказывания:
- Если допоздна работаешь с компьютером и при этом пьешь много
кофе, то утром просыпаешься в дурном расположении духа или с
головной болью
Х - допоздна работаешь с компьютером
Y – допоздна работаешь с компьютером
Z – допоздна работаешь с компьютером
U - утром просыпаешься с головной болью
(X & Y) → (Z V U)

13.

Пример 3:
Представить логическими формулами следующие высказывания:
- Если социологические исследования показывают, что потребитель
отдает предпочтение удобству и многообразию выбора, то фирме
следует сделать упор на усовершенствование товара или
увеличение многообразия новых форм
Х - социологические исследования показывают, что потребитель
отдает предпочтение удобству
Y – социологические исследования показывают, что потребитель
отдает предпочтение многообразию выбора
Z – фирме следует сделать упор на усовершенствование товара
U - фирме следует сделать упор на многообразию выбора

14.

15.

Пример 4:
Представить логическими формулами следующие высказывания:
Если фирма продолжает выпуск существующего продукта и
ориентирована на существующий рынок, то для неё целесообразна
стратегия «малого корабля», или экономии издержек. Такая стратегия
привлекательна, если интенсивный маркетинг – стратегический
хозяйственный фактор, но слабая сторона организации. Если
интенсивный маркетинг является хозяйственным фактором и сильной
стороной фирмы, то фирме следует придерживаться стратегии захвата
новых рынков для существующего продукта
Первое предложение
A - фирма продолжает выпуск существующего продукта
B – фирма ориентирована на существующий рынок
C – для фирмы целесообразна стратегия «малого корабля»,
D - для фирмы целесообразна стратегия экономии издержек
(A & B) → (C ~ D)

16.

Второе предложение
Такая стратегия привлекательна, если интенсивный маркетинг –
стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона
организации.
K- интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным
фактором организации
L – интенсивный маркетинг является слабой стороной организации
( K & L) → (C ~ D)

17.

Третье предложение
Если интенсивный маркетинг является хозяйственным фактором и
сильной стороной фирмы, то фирме следует придерживаться
стратегии захвата новых рынков для существующего продукта.
M - интенсивный маркетинг является сильной стороной фирмы
N – фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков
для существующего продукта
(K& M)→ N
((A & B) → (C ~ D)) & (( K & L) → (C ~ D)) & (( K & M ) → N)

English Русский Правила