Линейные пространства. Тема 7

1.

§7. Линейные пространства
п.1. Линейная зависимость.
Упорядоченная совокупность n
действительных чисел ( x1 , x 2 ,..., x n )
называется n-мерным вектором.
Числа x1 , x 2 ,..., x n называются координатами
вектора.
Пример.
— 2-мерный вектор
(1,5 )
(1,5 , 2 ) — 3-мерный вектор
(1, 5 , 2 , 0 ) — 4-мерный вектор

2.

Линейные операции над n-мерными векторами
(сложение, вычитание, умножение на число)
определяются аналогично случаю векторов на
плоскости и в пространстве (в координатной
форме).
Совокупность всех n-мерных векторов, для
которых определены линейные операции
называется n-мерным векторным
n
пространством и обозначается R .

3.

Рассмотрим систему из m n-мерных векторов
a1 , a 2 ,..., a m .
Вектор b называется линейной комбинацией
системы a1 , a 2 ,..., a m , если существуют такие
числа
что
Числа
1 , 2 ,..., m R ,
b 1 a 1 2 a 2 ... m a m .
1 , 2 ,..., m
называются коэффициентами линейной
комбинации.

4.

Пример.
Если три вектора a , b , c R некомпланарны, то
3
1 , 2 , 3 R d R
3
d 1 a 2 b 3 c .
Система векторов a1 , a 2 ,..., a m называется
линейно зависимой, если существуют
числа 1 , 2 ,..., m R , хотя бы одно из которых
не равно нулю, такие, что справедливо
равенство
1 a 1 2 a 2 ... m a m 0 .
Система векторов a1 , a 2 ,..., a m называется
линейно независимой, если существуют она
не является линейно зависимой.

5.

Для линейно независимой системы векторов
равенство
1 a 1 2 a 2 ... m a m 0
возможно тогда и только тогда, когда
1 2 ... m 0 .
Свойства линейно (не)зависимых систем
векторов
1) Если среди векторов системы a 1 , a 2 ,..., a m
есть нулевой, то система линейно зависима.
Доказательство.
Пусть, например, a1 0 .

6.

Тогда
Здесь
1 a 1 0 a 2 ... 0 a m 0 .
1 1 0 , 2 ... m 0 .
Значит, система линейно зависима.
2) Если среди векторов системы a 1 , a 2 ,..., a m
есть k (k m ) линейно зависимых векторов, то
система линейно зависима.
Доказательство.
Пусть векторы a1 , a 2 ,..., a k линейно зависимы.
Тогда
1 a 1 2 a 2 ... k a k 0 ,
причем, хотя бы одно из чисел 1 , 2 ,..., k не
равно нулю.

7.

Поэтому из равенства
1 a 1 2 a 2 ... k a k 0 a k 1 0 a k 2 ... 0 a m 0 ,
следует линейная зависимость системы
a1 , a 2 ,..., a m .
3) Если система векторов линейно
независима, то любая ее подсистема линейно
независима.
4) Для того, чтобы система векторов была
линейно зависима, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из ее векторов линейно
выражался через остальные.

8.

Доказательство.
Необходимость. Пусть система векторов
a1 , a 2 ,..., a m
линейно зависима.
Тогда
1 a 1 2 a 2 ... m a m 0 ,
причем хотя бы одно из чисел 1 , 2 ,..., m не
равно нулю, например l 0 .
Значит
l 1
l 1
m
1
a l a1 ...
a l 1
a l 1 ...
am ,
l
l
l
l
т.е. вектор al линейно выражается через
остальные.

9.

Достаточность. Пусть вектор al линейно
выражается через остальные, т.е.
a l 1 a 1 ... l 1 a l 1 l 1 a l 1 ... m a m .
Поэтому из равенства
1 a 1 ... l 1 a l 1 ( 1) a l l 1 a l 1 ... m a m 0
следует линейная зависимость системы
a1 , a 2 ,..., a m .

10.

Если вектор b является линейной
комбинацией векторов линейно независимой
системы a1 , a 2 ,..., a m , т.е.
b 1 a 1 2 a 2 ... m a m ,
то числа 1 , 2 ,..., m называются
координатами вектора b в системе a 1 , a 2 ,..., a m .
Теорема 1.
Координаты вектора b в линейно независимой
системе a1 , a 2 ,..., a m , задаются однозначно, т.е.
разложение
b 1 a 1 2 a 2 ... m a m
единственно.

11.

Диагональной называется система векторов
следующего вида
a 1 ( a 1 1 , a 2 1 , a 3 1 ,..., a n 1 ),
a 2 ( 0 , a 2 2 , a 3 2 ,..., a n 2 ),
a 3 ( 0 , 0 , a 3 3 ,..., a n 3 ),
……………………….
a r ( 0 , 0 ,..., 0 , a r r ,..., a n 3 ),
где
a ii 0 , i 1, r .
Теорема 2.
Диагональная система векторов линейно
независима.

12.

Единичными векторами пространства R n
называются векторы
e1 (1, 0 , 0 ,..., 0 ),
e 2 ( 0 ,1, 0 ,..., 0 ),
e 3 ( 0 , 0 ,1,..., 0 ),
…………………
e n ( 0 , 0 , 0 ,...,1).

13.

Теорема 3.
а) Система единичных векторов линейно
независима.
б) Любой вектор a ( a 1 , a 2 ,..., a n )
n
пространства R является линейной
комбинацией единичных векторов этого
пространства, причем координаты вектора a в
этой системе совпадают с его координатами
a1 , a 2 ,..., a n .

14.

Рассмотрим систему векторов
a1 ( a11 , a21 ,..., an1 ),
a2 ( a12 , a22 ,..., an 2 ),
...................................
am ( a1m , a2 m ,..., anm ).
Матрица
a11 a12
a21 a22
A
... ...
a
n1 an 2
... a1m
... a2 m
... ...
... anm
называется матрицей системы векторов.

15.

Теорема 4.
Система векторов линейно независима тогда и
только тогда, когда количество векторов в
системе равно рангу матрицы этой системы
векторов.
Пример. Проверить линейную зависимость
системы векторов.
( 2 , 2 , 4 ,1 ), ( 4 , 7 , 4 , 4 ), ( 6 , 7 , 3 , 5 ).

16.

Решение. Составим матрицу этой системы
(транспонированную)
2 2 4 1
4 7 4 4 .
6 7 3 5
Найдем ее ранг
r 2.
Значит, система линейно зависима.

17.

п.2. Базис и ранг системы векторов.
Базисом системы векторов называется
содержащая максимальное количество
векторов ее линейно независимая
подсистема.
Замечание 1.
Система векторов может иметь несколько
базисов.
Количество векторов в любом базисе системы
векторов одинаково.

18.

Число векторов в базисе называется рангом
системы векторов.
Теорема 5.
Ранг системы векторов равен рангу матрицы
этой системы векторов.
Базисом n-мерного векторного пространства
называется n линейно независимых векторов
этого пространства.

19.

Теорема 6.
n
Пусть a1 , a 2 ,..., a n — базис пространства R .
Тогда любой вектор b этого пространства
разлагается по данному базису, т.е.
b 1 a 1 2 a 2 ... n a n ,
причем это разложение единственно.
Доказательство. Пусть
a1 ( a11 , a21 ,..., an1 ),
b ( b1 , b 2 ,..., b n ),
a2 ( a12 , a22 ,..., an 2 ),
...................................
an ( a1n , a2 n ,..., ann ).

20.

Коэффициенты 1 , 2 ,..., n определим из
системы:
b a a a ,
1
11 1
12 2
1n n
b a a a ,
2
21 1
22 2
2n n
bn an1 1 an 2 2 ann n .
Так как векторы a1 , a 2 ,..., a n линейно
независимы, то ранг матрицы коэффициентов
этой системы равен n (определитель матрицы
не равен нулю).
Поэтому система имеет единственное
решение, которое можно найти по правилу
Крамера.

21.

п.3. Евклидово пространство.
Пусть
x ( x1 , x 2 ,..., x n ), y ( y 1 , y 2 ,..., y n ).
Скалярным произведением векторов x и y
называется сумма произведений
соответствующих координат этих векторов:
n
x y x1 y1 x 2 y 2 ... x n y n x k y k .
k 1
Модулем вектора x называется квадратный
корень из скалярного произведения этого
вектора на себя:
n
| x | x x x1 x1 x 2 x 2 ... x n x n
x .
k 1
2
k

22.

Косинус угла между векторами x и y
определяется по правилу:
x y
cos
.
| x | | y |
Евклидовым пространством называется nмерное векторное пространство, в котором
задано скалярное произведение.
Векторы x и y евклидова пространства
называются ортогональными, если:
x y 0.

23.

Система векторов a1 , a 2 ,..., a n
называется ортогональной, если:
Теорема 7.
a i a j 0 , i j.
Ортогональная система векторов линейно
независима.
Доказательство. Пусть
a1 , a 2 ,..., a n
─ ортогональная система.
Рассмотрим равенство
1 a 1 2 a 2 ... n a n 0 , | a i

24.

1 a 1 a i 2 a 2 a i ... i a i a i ... n a n a i 0 ,
i | ai | 0,
2
i 0.
Значит,
i 2 ... n 0 ,
т.е. система линейно независима.

25.

Теорема 8.
Ортогональная система n векторов
a1 , a 2 ,..., a n
образует базис n-мерного пространства.
При этом координаты произвольного вектора
b ( b1 , b 2 ,..., b n )
в этом базисе можно найти по правилу:
ai b
bi
, i 1, 2,..., n.
2
| ai |

26.

Доказательство.
По определению базиса пространства и
теореме 7 система
a1 , a 2 ,..., a n
является базисом.
Тогда любой вектор можно представить в виде
b b1 a 1 b 2 a 2 ... b n a n , | a i
a i b b1 a 1 a i b 2 a 2 a i ... b i a i a i ... b n a n ,
2
bi | a i | a i b .
ai b
Значит,
bi
, i 1, 2,..., n.
2
| ai |

27.

Ортогональная система векторов называется
ортонормированной, если длина каждого
вектора этой системы равна 1.
Теорема 9.
Координаты произвольного вектора
b ( b1 , b 2 ,..., b n )
в ортонормированном базисе
a1 , a 2 ,..., a n
можно найти по правилу
b i a i b , i 1, 2 ,..., n .