Сочетания. Урок №4

1.

2. Урок №4: Сочетания

Цели:
• Дать понятие сочетаний
• Вывести формулу числа сочетаний
• Усвоение формулы с помощью
тренировочных задач

3. Определение:

Сочетанием из n элементов по m
называется любое множество,
составленное из m элементов,
выбранных из данных n элементов (не
имеет значения, в каком порядке
указаны элементы).
Число сочетаний из n элементов по m
обозначают Cmn (читается: «С из n по
m»).

4. Сочетания

Опр. Сочетанием из n элементов по m ( m ≤ n) называется m- элементное
подмножество некоторого n элементного множества.
Формула (число сочетаний «из эн по эм»):
Задача: Сколькими способами можно составить букет из 3 цветов, если в вашем
распоряжении 5 цветов: мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика?
Решение. (обратить внимание на его оформление!)
1.Основное множество: {мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика} n=5
2.Соединение – букет из трех цветков m=3
3. Проверим, важен ли порядок:
{тюльпан, лилия, гвоздика} и {лилия, тюльпан, гвоздика} – один и тот же букет
порядок неважен это подмножество это сочетание «из пяти по три».
4.
Ответ : 10 способов

5.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов, и из его
элементов составлены все возможные сочетания по m
элементов. Число таких сочетаний равно Cmn В каждом
сочетании можно выполнить Pm перестановок. В результате мы
получим все размещения, которые можно составить из n
элементов по m. Их число равно Anm .
Значит Cmn = (Anm)/Pm
Пользуясь тем, что Anm =n!/(n-m)!, а Pm =m!
Находим, что Cmn =n!/(m!*(n-m)!)
Мы получили формулу для вычисления числа сочетаний.
Задача: На тренировке занимаются 10 баскетболистов.
Сколько различных стартовых пятёрок может
образовать тренер?

6.

Cmn =n!/(m!*(n-m)!)
Мы получили формулу для вычисления числа сочетаний.
Задача: На тренировке занимаются 10 баскетболистов.
Сколько различных стартовых пятёрок может
образовать тренер?
Решение :
1.Основное множество: n=10
2. Соединение – стартовая пятерка: m=5
3. Порядок не важен,т.к. при составлении стартовой
пятёрки, тренера интересует только состав, то
достаточно определить число сочетаний из 10 по 5
элементов.
4.
С10 5 = ( 10х9х8х7х6)/(1х2х3х4х5) = 252
Ответ: 252 стартовые пятерки

7. Подбор задач по теме «Сочетания»

1
2
3
4
5
6*
7*
В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими
способами можно выбрать из них двоих для участия в олимпиаде?
Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать
во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из
них 6 книг?
На плоскости отмечено 8 точек, никакие три из них не лежат на одной
прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?
Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников,
надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это
можно сделать, если а)заведующий лабораторией должен ехать в
командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?
Номер машины в некотором городе составляют из двух различных
букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трёх различных цифр. Сколько
машин можно обеспечить такими номерами?
Максим подсчитал, что существует 378 способов выбора из их класса
двух дежурных. Сколько учащихся в этом классе?
На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11художественных
произведений на английском языке. Сколькими способами читатель
может выбрать 3 книги, если: а) словарь нужен ему обязательно;
б)словарь ему не нужен?