Элементы логики. Кванторы

1.

Элементы логики
Кванторы
Высказыванием
называется повествовательное предложение, которое
может быть либо истинным, либо ложным.
Высказывательными формами или предикатами
Называются предложения, в которые входят переменные и
которые при замене этих переменных их значениями
становятся высказываниями.

2.

Областью определения
этого предиката является декартово произведение
X1 X2 … Xn является, если в предикат входят переменные
x1,x2,…xn, пробегающие соответственно множества X1,X2,…Xn.
Областью истинности
предиката называют множество Т кортежей (a1,a2,…an) таких,
что при замене x1 на а1, x2 на a2, …, xn на an получается
истинное высказывание.

3.

Пусть имеем предикат F(x), х Х. Тогда предложение “Для
всех х Х истинно F(x)” – является высказыванием. Это
высказывание обозначается ( х Х) F(x).
Символ называют квантором всеобщности, а присоединение
этого символа к предикату F(x) – “навешиванием квантора
всеобщности”. Квантор общности выражается с помощью слов
"каждый", "всякий", "любой", "ни один".

4.

Из предиката F(x), x X можно получить другое
высказывание. В множестве Х существует такой элемент а,
что F(a) - истинное высказывание. Это высказывание
обозначают: ( х Х) F(x) или ( x) F(x).
Символ - называют квантором существования. Квантор
существования выражается словами "некоторые",
"найдется", "существует", "хотя бы один" и др.
Символ ! – называют квантором единственности.

5.

При "навешивании" кванторов на переменные
многоместных предикатов каждая переменная может быть
связана своим квантором. При этом два квантора одного
наименования:( х) ( y) F(x,y) или ( х) ( y) F(x,y) – можно
менять местами, при этом не меняется истинность
высказывания.
При "навешивании" разноименных кванторов нельзя
менять их порядок, так как может измениться истинность
высказывания.