Условная вероятность

1.

Условная
вероятность

2.

Условная вероятность
• Вероятность события A при условии того,
что событие B произошло,
называется условной вероятностью и
обозначается
P A / B или PB A

3.

Пример 1.
Пусть пять студентов вытягивают на экзамене один билет
из пяти, причем один из них - очень лёгкий. Какова
вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить
удачный билет?
Решение.
Очевидно, что эта вероятность
зависит от того, что попалось
предыдущим студентам, и
вытянуть удачный билет третий
студент может только в том
случае, когда его не взяли двое
предыдущих: PA B C

4.

Решение задачи
1/
5
Пусть пять студентов вытягивают на экзамене один
билет из пяти, причем один из них очень лёгкий. Какова
вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить
удачный билет?
х
4/4
5
4/
1/4
п
п
3/3
п
х
3/3
п
п
1/3
х
3/4
P 3 ий студент возьмет хороший билет
4 3 1 1
5 4 3 5

5.

Формула полной вероятности
Для вычисления полной вероятности события A
нужно перечислить все условия Hi, при которых
может наступить A, и перемножить вероятности
этих условий на соответствующие им условные
вероятности.
P A P H1 PH1 A P H 2 PH2 A ... P H k PHk A
Причем сумма вероятностей гипотез должна быть
равна 1, т.е.
P H 1
i

6.

Формула Байеса
Пусть событие A может быть вызвано
набором причин Hi. Тогда вероятность
того, что к событию A привело событие Hi,
пропорциональна произведению
вероятности соответствующей причины на
вероятность следствия.
PA H i
P H i PHi A
P A

7.

Пример 2.
Имеются 2 урны с шарами. В первой урне
находятся 2 белых и 4 черных шара, во второй –
3 белых и 3 черных.
• Из каждой урны достали по одному шару. Найти
вероятность того, что эти шары белые.
• Выбирается урна и из нее извлекается 2 шара. Найти
вероятность того, что эти шары белые. Найти
вероятность того, что они были взяты из первой урны.
• Из первой урны во вторую переложили 1 шар, а затем
из второй (пополненной) урны достали 2 шара. Они
оказались белыми. Найти вероятность того, что был
переложен белый шар.

8.

Пример 2.1
Имеются 2 урны с шарами. В первой урне находятся 2 белых и 3 черных
шара, во второй – 3 белых и 3 черных. Из каждой урны достали по одному
шару. Найти вероятность того, что эти шары белые.
2 3 1
P A
5 6 5
Из I урны
Из II урны

9.

Пример 2.2
Имеются 2 урны с шарами. В первой урне находятся 2 белых и 3 черных
шара, во второй – 3 белых и 3 черных. Выбирается урна и из нее извлекается
2 шара. Найти вероятность того, что эти шары белые. Найти вероятность
того, что они были взяты из первой урны.
1 2 1
P 2белых I 2 5 4 1
1 2 1 1 3 2 1 2 3 P2 белых I
3/5
P A
3
P
2
белых
3
2 5 4 2 6 5 20 20
20

10.

Пример 2.3
Имеются 2 урны с шарами. В первой урне находятся 2 белых и 4
черных шара, во второй – 3 белых и 3 черных. Из первой урны
во вторую переложили 1 шар, а затем из второй (пополненной)
урны достали 2 шара. Они оказались белыми. Найти
вероятность того, что был переложен белый шар.
Ч
Б
Б
Б
Ч
Ч
Б
2 4 3 4 3 2
2 3 4 4
P A 2
6 7 Из
6 I6
7 6во II 6 6 7 21
урны
Б
Ч
Б
1 шар из II урны
Ч
Ч
Б
Ч
2 шар из II урны

11.

12.

Дерево исходов
Не
меняет
выбор
Меняет
выбор
и и
выигрывает
выигрывает
P
B
C
B
C
B
A
C
C
A
B
1
C
A
1
C
C
1
B
B
1
A
1
1/3
A
1 1 1
21
1 66
33
3 3 2
A
B
A
C
A
Ваш
выбор
B