Тела вращения. Цилиндр. Конус. Сфера и шар

1. Тела вращения

1

2.

ЦИЛИНДР: от греческого «валик, каток»
Цилиндром называется тело, полученное при
вращении прямоугольника вокруг оси,
проходящей через одну из его сторон.
2

3.

Основные определения
Основаниями цилиндра называются круги,
полученные в результате вращения сторон
прямоугольника, смежных со стороной
принадлежащей оси вращения.
O1
Н
O
Образующими цилиндра называются отрезки,
соединяющие соответствующие точки
окружностей кругов.
R
Радиусом цилиндра называется радиус его
основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями
оснований.
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры
оснований.
3

4. Цилиндр: основные свойства

• Основания цилиндра равны и лежат в
O1
параллельных плоскостях.
• Образующие цилиндра параллельны и
равны.
Н
R
O
• Боковая поверхность цилиндра
составлена из образующих.
• Поверхность цилиндра состоит из
оснований и боковой поверхности.
Н
2 R
O
• Развертка цилиндра представляет
собой прямоугольник и два круга
R
4

5. Сечения цилиндра

Сечение цилиндра
плоскостью,
проходящей через
ось цилиндра,
называется осевым
сечением.
O1
Н
RO
O1
Н
O
R
Сечение цилиндра
плоскостью,
перпендикулярной оси
цилиндра,
представляет собой
круг, равный
основанию.
R
O1
R
Н
O
R
O1
R
Н
O
Сечение цилиндра
плоскостью,
параллельной оси
цилиндра,
представляет собой
прямоугольник.
Сечение цилиндра
плоскостью,
проходящей под
углом к оси
цилиндра,
представляет собой
эллипс.
5

6. Цилиндр:

R - радиус основания; H - высота
Площадь полной поверхности:
S S бок 2 S осн 2 R( H R)
Площадь боковой поверхности:
S бок 2 RH
R
Объем цилиндра:
Н
2 R
O
27.04.2023
H
O
Площадь основания:
S осн R 2
O1
V R 2 H
R
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
6

7.

КОНУС: от греческого «сосновая шишка,
остроконечная верхушка шлема»
Конусом называется тело, полученное при
вращении прямоугольного треугольника вокруг
оси, содержащей его катет.
7

8.

Основные определения
Основанием конуса называется круг, полученный в результате
вращения катета, перпендикулярного стороне, принадлежащей оси
вращения.
Вершиной конуса называется точка, не
А
лежащая в плоскости этого круга.
Радиусом конуса называется радиус его
основания.
Н
О
Образующими конуса называются отрезки,
соединяющие вершину конуса с точками
окружности основания.
R
В
Высотой конуса называется перпендикуляр,
опущенный из его вершины на плоскость
основания.
Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту.
8

9. Конус: основные свойства

А
Образующие конуса равны.
О
Боковая поверхность составлена из
образующих.
L
Н
В
R
Полная поверхность конуса состоит
из основания и боковой поверхности.
А
L
2 R
Развертка конуса представляет собой
круговой сектор, радиусом которого
является образующая, и круг.
О
R
9

10. Сечения конуса

Сечение конуса
плоскостью, проходящей
через его ось, называют
осевым сечением.
Осевое сечение прямого
конуса является
равнобедренным
В
треугольником
А
Н
О
R
А
Н
О
R
А
Н
О
А
R
Сечение конуса
плоскостью,
перпендикулярной его
оси, представляет собой
круг.
В
Сечение конуса
плоскостью, проходящей
под углом к оси
представляет собой
эллипс.
Н
О
Сечение конуса
плоскостью, проходящей
через вершину конуса, но
не через его ось
представляет собой
равнобедренный
треугольник.
В
R
В
10

11. КОНУС:

R - радиус основания; Н – высота; L - образующая
Площадь полной поверхности:
А
S S бок S осн R( L R)
Площадь боковой поверхности:
S бок RL
L
Н
Площадь основания:
О
R
В
S осн R 2
Объем конуса:
1 2
V R H
3
27.04.2023
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
11

12. Усеченный конус

Усеченным конусом называется часть конуса,
заключенная между его основанием и секущей
плоскостью, параллельной плоскости основания
конуса.
12

13.

Основные определения
Основаниями усеченного конуса называются
основание данного конуса и круг, полученный в
r
L
Н
R
сечении этого конуса плоскостью.
Образующими называются отрезки образующих
конической поверхности, расположенные между
основаниями усеченного конуса.
Радиусами усеченного конуса называются радиусы его оснований.
Высотой называется отрезок, соединяющий центры оснований
усеченного конуса.
13

14.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС:
основные свойства
Все образующие усеченного конуса равны
между собой.
r
L
Н
Боковой поверхностью усеченного
конуса называется часть конической
R
поверхности, ограничивающая усеченный
конус.
О1
r
L
2 r
2 R
О
Полная поверхность конуса состоит из
оснований и боковой поверхности.
Развертка усеченного конуса представляет
собой часть кругового кольца и два круга.
R
14

15. Некоторые варианты сечений усеченного конуса

Сечение усеченного
конуса плоскостью,
проходящей через его
ось, называют
осевым сечением.
Осевое сечение
представляет собой
равнобедренную
трапецию.
r
L
Н
R
L
Н
R
r
L
Н
R
Сечение усеченного
конуса плоскостью,
перпендикулярной его
оси, представляет
собой круг.
Сечение усеченного
конуса плоскостью,
проходящей через
основания конуса,
параллельно его оси
представляет собой
равнобедренную
трапецию.
r
r
L
Н
R
Сечение усеченного
конуса плоскостью,
проходящей под углом
к оси представляет
собой эллипс.
15

16.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС:
R и r - радиусы оснований; Н – высота; L - образующая
Площадь полной поверхности:
S S бок S ниж .осн S верх .осн L( R r ) R2 r 2
Площадь боковой поверхности:
r
S бок L( R r )
L
Н
S осн R 2 r 2
R
27.04.2023
Площадь оснований:
Объем усеченного конуса:
1
2
V Н ( R Rr r 2 )
3
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
16

17. Сфера и шар

сфера
Сферой называется
поверхность, полученная при
вращении полуокружности
вокруг её диаметра.
Шаром называется тело,
полученное при вращении
полукруга вокруг его диаметра.
шар
17

18. Основные определения

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства,
находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.
Эта точка называется центром шара,
а данное расстояние называется
радиусом шара.
O
R
R
Граница шара называется шаровой
поверхностью или сферой.
Любой отрезок, соединяющий центр
шара с точкой шаровой поверхности,
называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и
проходящий через центр шара, называется диаметром.
18

19.

Сечения сферы и шара
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого
круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на
секущую плоскость.
Плоскость, проходящая через
центр шара, называется
диаметральной плоскостью.
Сечение шара диаметральной
d
плоскостью называется
O
большим кругом, а сечение
R
сферы - большой
окружностью
19

20.

СФЕРА И ШАР:
R - сферы; d - диаметр
Площадь поверхности сферы:
S 4 R 2
S d 2
Объем шара:
O
R
R
27.04.2023
4 3
V R
3
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
1 3
V d
6
20

21.

Формулы площади поверхности и
объема тел вращения
Название
тела
Формула
Формула
площади бок. площади полной
поверхности
поверхности
Формула
объема
Цилиндр
S бок 2 RH
S 2 R( H R )
V R 2 H
Конус
S бок RL
S R( L R )
Усеченный
конус
S бок L( R r )
S L( R r )
1
V R 2 H
3
Шар
1
2
V Н ( R Rr r 2 )
3
R 2 r 2
S 4 R d
2
2
4
1
V R 3 d 3
3
6
21

22. Задачи

27.04.2023
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
22

23.

Задача 1. Токарю надо выточить деталь в форме
цилиндра высотой 5 см и объёмом около 140 см3.
Какой радиус этой детали?
Показать решение
23

24.

Задача 1. Токарю надо выточить деталь в форме
цилиндра высотой 5 см и объёмом около 140 см3.
Как это сделать?
Дано: цилиндр,
V=140 см3 , h =5 см
Найти: R
Решение
1) V R h
2
R
27.04.2023
R
V
h
140
3см
3,14 5
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
24

25.

Задача 2. Ведро имеет форму усеченного конуса,
радиусы оснований которого равны 15см и 10см, а
образующая равна 30см. Сколько килограммов
краски нужно взять для того, чтобы покрасить с
обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 квадратный
метр требуется 150г краски?
S l ( R r ) r
2
2S 2 l ( R r ) 2 r
2
R
2S 2 3,14 0,3 0,25 2 3,14 0,01
2S 0,5338
т 100 0,5338 0,15 8(кг)
Ответ : 8,011(кг)
25

26.

Задача 3. Сколько кожи пойдет на покрытие
футбольного мяча радиуса 10см (на швы добавить
8% от площади поверхности мяча)?
S 4 R
2
S 4 102 1256
O
R
0,08S 0,08 1256 100,5
S 0,08S 1256 100,5 1356,5
S 0,08S 1356,5(см )
2
26

27.

Задача №1217. Сколько квадратных метров листовой
жести пойдет на изготовление трубы длиной 4м и
диаметром 20см, если на швы необходимо добавить
2,5% от площади её боковой поверхности?
S бок 2 RH
0,025S бок 0,025 2 RH 0,05 RH
Sбок 0,025S бок 2 RH 0,05 RH 2,05 RH
Sбок 0,025S бок 2,05 RH 2,05 0,1 4 0,82
Ответ : 0,82 2,58( м 2 )
27

28.

Задача №1228. Стаканчик для мороженого конической
формы имеет глубину 12см и диаметр верхней части
5см. На него сверху положили две ложки мороженого в
виде полушарий диаметром 5см. Переполнит ли
мороженое стаканчик, если оно растает?
Ответ: нет
27.04.2023
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
28

29.

Спасибо за внимание!
27.04.2023
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
29