Элементы теории множеств. Тема 1

1.

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

2.

1.1. Основные понятия теории множеств
Курс функционального анализа базируется в основном на теории
множеств, линейной алгебре и математическом анализе. Поэтому
предварительно обобщим известные основные понятия теории множеств.
Теория множеств относится к важнейшим разделам математики. В
настоящее время она служит фундаментом для всех основных
математических теорий. Основы общей теории множеств были заложены
немецким математиком Георгом Кантором во второй половине XIX века.
Под множеством понимают совокупность определенных, вполне
различимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Множество
считается заданным, если известны те элементы, из которых оно состоит.
Различные множества будем обозначать прописными буквами латинского
алфавита А, В, С и т.д., а их элементы малыми буквами: a, b, c и т.д. Через
∅ будем обозначать пустое множество (т.е. множество, не содержащее ни
одного элемента).

3.

Запись A ⊂ B означает, что множество А есть
подмножество множества В. В этом случае каждый
элемент множества А входит и в множество В (рис. 1).
Примеры числовых множеств:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
I – множество иррациональных чисел; R – множество
вещественных чисел;
С – множество комплексных чисел.
Очевидно, что: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C .

4.

Пример 1. Дано множество X = {1, 2, 3} . Запишите все его
подмножества.
Решение. {1}, {2} , {3} , {1, 2}, {1, 3} , {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅.
Пример 2. Даны два множества: A ={1, 2} и B = {{1, 2, 3} , {1, 3} ,
{1} , {2}}. Верно ли, что A ⊂ B ?
Решение. Нет, множество А не является подмножеством множества
В (так как элементами множества А являются числа, а элементами
множества В – множества, и среди них нет множества {1, 2} ).

5.

Множество точек n-мерного пространства называется
ограниченным, если существует n-мерный сегмент, содержащий все
точки данного множества.
Внутренность любого n-мерного шара, содержащая данную
точку n-мерного пространства, называется окрестностью точки.
Точка