1.26M
Категория: ФизикаФизика

Основные уравнения математической физики. Уравнения эллиптического типа (лекция 13)

1.

Математическое
моделирование
физических систем
Лекция 13. Основные
уравнения
математической физики.
Уравнения
эллиптического типа

2.

Эллиптические (стационарные процессы)
2u 2u 2u
2 2 f
2
x
y
z
• Канонический вид
• Уравнение
• Пуассона
• (Лапласса)
u u u
g g g f
x x y y z z
При постановке задач для ДУ в частных производных обычно требуется найти
распределение , удовлетворяющее ДУ в некоторой области пространства с границей Г.
y
Г
x

3.

Уравнения эллиптического типа
Закон сохранения массы жидкости в выделенном объеме V
С силу произвольного выбора объема V подынтегральная
функция должна быть тождественна равна нулю и следует
уравнение неразрывности сплошной среды:
3

4.

Дивергенция векторного поля
• Характеризует распределение в пространстве
источников векторного поля
• Например, источниками электрического поля
являются заряды, положительные или
отрицательные.
• В этом случае
дает
распределение зарядов.
4

5.

Уравнения эллиптического типа
Рассмотрим установившееся
течение жидкости, для которого ее
скорость не зависит от времени:
5

6.

Уравнения эллиптического типа
Для безвихревое течения
жидкости, существует
потенциал скоростей:
Свойства потенциала скоростей:
градиент потенциала скоростей
определяет скорость жидкости:
6

7.

Уравнения эллиптического типа
Для потенциала скоростей,
справедливо уравнение Лапласа:
Laplace, Pierre-Simon
(1749–1827), французский
математик, физик и
астроном
или
здесь
оператор Лапласа
Уравнение Лапласа возникает во многих
физических задачах механики,
теплопроводности, электростатики, гидравлики,
квантовой физике, в частности в уравнении
Шрёдингера.
7

8.

Уравнения эллиптического типа
Johann Carl Friedrich Gauß;
1777-1855, Гёттинген):
немецкий математик,
механик, физик, астроном
и геодезист.
8

9.

Уравнения эллиптического типа
С помощью теоремы
Остроградского-Гаусса
преобразуем последнее
выражение к дифференциальной
форме:
или
9

10.

Уравнения эллиптического типа
В силу произвольного
выбора объема V
подынтегральная функция
должна быть тождественна
нулю!
Связь электрического
поля и
электростатического
потенциала:
здесь
оператор Лапласа
10

11.

Уравнения эллиптического типа
Для электростатического потенциала
справедливо уравнение Пуассона:
Siméon Denis Poisson
(1781-1840, Франция),
французский математик,
механик и физик.
В декартовой системе координат:
Уравнение Пуассона описывает:
• электростатическое поле,
• стационарное поле температуры,
• поле давления,
• поле потенциала скорости в гидродинамике.
11

12.

Краевые задачи для уравнений
эллиптического типа
В каждой задачи, связанной с уравнениями Лапласа и Пуассона,
искомое решение должно:
1) удовлетворять
уравнению в области
2) удовлетворять некоторому
дополнительному условию на
границе этой области.
12

13.

Краевые задачи для уравнений
эллиптического типа
В зависимости от вида граничных условий различают следующие
виды граничных задач:
1) Задача Дирихле
13

14.

Краевые задачи для уравнений
эллиптического типа
В зависимости от вида граничных условий различают следующие
виды граничных задач:
2) Задача Неймана
14

15.

Краевые задачи для уравнений
эллиптического типа
В зависимости от вида граничных условий различают следующие
виды граничных задач:
3) Смешанная задача
15
English     Русский Правила