Аксиоматическое построение геометрии

1.

Кондрашова Ирина
Фирсова Анастасия
Фирсова Валерия

2.

Аксиоматическое построение
геометрии
Введение
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ВВЕДЕНИЕ ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ
ПОНЯТИЙ.
Т Е О Р Е М Ы Л Е Ж А Н Д РА О
СУММЕ УГЛОВ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Основные понятия
Аксиомы
Теоремы Лежандра
Заключение
2

3.

Аксиоматическое построение
геометрии
. Геометрия – раздел, который получил свою
аксиоматику раньше других, в грандиозном
труде Евклида «Начала», созданном около
300 г. до н.э. Соответственно, очень важным
был 1 выбор исходных положений теории. В
ВВЕДЕНИЕ
их качестве у Евклида выступали 9 аксиом и 5
постулатов
Геометрия, заданная системой всех аксиом
без пятого постулата, называется абсолютной
геометрией, а геометрия с пятым постулатом
– евклидовой
3

4.

Аксиоматическое построение
геометрии
Геометрия всех пяти групп аксиом I-IV,V системы
аксиом Гильберта называется евклидовой
геометрией.
Геометрия всех пяти групп аксиом I-IV,V системы
аксиом Гильберта называется евклидовой
геометрией.
Геометрия четырёх групп аксиом I-IV системы
аксиом Гильберта и аксиомы параллельности
Лобачевского V* называется геометрией
Лобачевского.
4

5.

Аксиоматическое построение
геометрии
I. Любые две точки можно соединить ровно одной
прямой.
Перечислим
постулаты
Евклида.
II. Любой отрезок прямой может быть продлён на
любую длину.
III. Можно построить окружность с произвольным
центром и произвольным радиусом.
IV. Все прямые углы равны.
V. Если две прямые a и b пересекаются с прямой
c , причём сумма внутренних односторонних углов
меньше π , то прямые a и b пересекаются, причём
именно с той стороны от c , с которой эти
односторонние углы находятся.
5

6.

Аксиоматическое построение
геометрии
Напомним, как строится абсолютная геометрия.
Берется три группы основных понятий (точки, прямые,
плоскости) и вводятся основные отношения
(принадлежности, порядка, конгруэнтности,
непрерывности). Эти отношения удовлетворяют
соответственно четырем группам аксиом. Геометрия,
которая получается в результате, называется
абсолютной геометрией.
6

7.

8.

Аксиоматическое построение
геометрии
ПЕРЕД ТЕМ,КАК
РАССМОТРЕТЬ
АКСИОМАТИК У.
ВВЕДЕМ
НЕКОТОРЫЕ
ПОНЯТИЯ
Прямая
Точка
Отрезок
Луч
Угол
Плоский угол
Поверхность
Плоская
поверхность
8

9.

10.

Аксиоматическое построение
геометрии
| ГРУППА АКСИОМ
1.
Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.
2.
Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.
3.
На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Суще ствуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой.
4.
Каковы
прямой,
бы
ни
существует
были
три
плоскость
точки
А,
а,
В,
С,
проходящая
не
через
лежащие
эти
на
одной
точки.
На
каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.
5.
Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей
через эти точки.
6.
Если две точки А и Б прямой а лежат в плоскости а, то каждая точка прямой а лежит в плоскости а.
7.
Если две плоскости а и b имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.
8.
Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
10

11.

| группу аксиом называют
аксиомами принадлежности
А к с и о м ы эт о й г руп п ы о п р ед ел я ют
с во й с т ва вз а и м н о го р а с п ол о ¬ ж е н и я т оч е к ,
п ря м ы х и п л о с к о с т е й , в ы р а ж а е м ы е
с л о в о м « п р и н а д ¬ л еж и т »

12.

Аксиоматическое построение
геометрии
|| ГРУППА АКСИОМ
1. Если А — В — С, то А, В, С — различные точки одной прямой и С - В - А.
2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на
прямой АВ, такая, что А — В — С.
3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между
двумя другими.
4. . (аксиома Паша). Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, а а —
прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если
прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка
АС или ВС
12

13.

|| группу аксиом называют
аксиомами порядка
С п о м о щ ь ю а к с и о м г руп п I и I I
д о к аз ы в а ют с я м н о г и е ф а к т ы ге о м ет р и и и
в вод и тс я ря д о с н о в н ы х о п р ед ел е н и й .
П р еж д е в с е го м ож ¬ н о д о к аз ат ь , ч т о м еж д у
л ю б ы м и т оч к а м и с уще с т вует п о к р а й н е й
м е р е од н а т оч к а , а от с юд а л е г к о п р и й т и к
в ы в од у, ч т о л ю б о й от р ез о к ( а
с л ед о вател ь н о , и л ю ба я п ря м а я ) с од е р ж и т
бе с к о н еч н о е м н ож е с т в о т оч е к .

14.

Аксиоматическое построение
геометрии
||| ГРУППА АКСИОМ
1. Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая
данному лучу, такая, что АВ = А'В'.
2. Можно доказать, что точка В' на данном луче единственная.
3. Если А'В' = АВ и А"В" = АВ, то А'В' = А" В".
4. Пусть А — В — С, А’ - В' — С, АВ = А'В' и ВС = В'С’. Тогда АС = А'С’.
5. Пусть даны hk и флаг (О', h', '). Тогда в полуплоско¬сти ' существует один и только один луч к',
исходящий из точки О', такой, что hk = h'k'.
6. Каждый угол конгруэнтен самому себе.
7. Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, и А', В', С’ — тоже три точки, не
лежащие на одной прямой. Если при этом АВ = А'В', АС = А'С’, BAC = В'А'С’, то АВС = А'В'С’.
14

15.

||| группу аксиом называют
аксиомами конгруэнтности
П р ед п ол а га ет с я , ч т о от р ез о к ( угол )
н а ход и т с я в и з в е с т н о м от н о ¬ ш е н и и к
к а к о м у - то от р ез к у ( угл у) . Э то от н о ш е н и е
в ы р а ж а ет с я с л о ¬ в о м « к о н г руэ н т е н » и л и
« р а в е н » и о б оз н ач а ет с я с и м в ол о м « = » .

16.

Аксиоматическое построение
геометрии
IV ГРУППА АКСИОМ
1. (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD — какие-нибудь отрез¬ки. Тогда на прямой АВ существует
конечное множество точек А1, А2, ..., Ап, таких, что выполняются условия:
2. (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность
отрезков A1B1;. А2 В2, ..., из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме
того, для любого отрезка CD найдется натуральное число n, такое, что АпВп < CD. Тогда на прямой
а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
Ясно, что такая точка М единственная. В самом деле, если пред¬положить, что точка N, отличная
от точки М, также принадлежит каждому из отрезков данной последовательности, то получим АпВп
MN при любом п, что противоречит аксиоме.
К важнейшим следствиям из аксиом групп I—IV относится теория измерения отрезков и углов.
Для обоснования евклидовой теории параллельных Гильберт к аксиомам групп I —IV добавляет еще
одну аксиому параллельных прямых.
16

17.

IV группу аксиом называют
аксиомами непрерывности
Для обоснования евклидовой теории
п а р а л л ел ь н ы х Ги л ь бе рт к а к с и о м а м г руп п
I — I V д о ба вл я ет е ще од н у а к с и о м у
п а р а л л ел ь н ы х п ря м ы х .

18.

Аксиоматическое построение
геометрии
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА
Важны три замечательные теоремы
Лежандра о связи V постулата с теоремами о
сумме углов треугольника. Рассмотрим их
подробнее.
18

19.

Аксиоматическое построение
геометрии
В
В1
В2
В3
2
2’
1
А
3
А1
А2
19
А3

20.

Аксиоматическое построение
геометрии
ИТОГИ
• Открытие неевклидовой
геометрии, начало
которому положил
Лобачевский, не только
сыграло огромную роль в
развитии новых идей и
методов в математике
естествознании, но имеет и
философское значение.
Открытие неевклидовой
геометрии доказало, что
нельзя абсолютировать
представления о
пространстве, что
«употребительная» (как
назвал Лобачевский
геометрию Евклида)
геометрия не является
единственно возможной,
однако это не подорвало
незыблемость геометрии
Евклида.
20
• Н.И. Лобачевский, как
известно, предпринял
попытку исследования
реального пространства,
используя для этой цели
астрономические данные.

21.

Аксиоматическое построение
геометрии
ВЫВОД
• Из выше сказанного вытекает органическая
связь между двумя великими достижениями
человеческого разума - геометрией
Лобачевского и теорией относительности
Эйнштейна. При этом геометрия
Лобачевского предшествовала теории
относительности не только во времени, но и
в идейном отношении.
• Таким образом, аксиоматический метод и
аксиоматические исследования
Лобачевского сыграли огромную роль в
развитии геометрии как науки, а также
нашли свое отражение и в теории познания,
т.е. переоценить их значение невозможно.
21

22.

Аксиоматическое построение
геометрии
Этой работой мы раскрыли тему
«Абсолютная геометрия.
Введение определяемых понятий.
СВОДКА
Теоремы Лежандра о сумме углов
треугольника»
Надеемся , что все было доступно и
понятно.
22

23.

Аксиоматическое построение
геометрии
НА Д ПРОЕК ТОМ РАБОТАЛИ
А Н АС ТА С И Я
Ф И Р С О ВА
ИРИНА
К О Н Д РА Ш О ВА
23
ВА Л Е Р И Я
Ф И Р С О ВА