История систем счисления

1.

- говорили пифагорийцы, подчеркивая
необычайно важную роль чисел в
практической деятельности.

2. История систем счисления

В древние времена, когда люди научились считать,
появилась потребность в записи чисел.
У каждого народа были своя или позаимствованная у
соседей система записи чисел. Одни использовали
значки, другие узелки, третьи буковки.
Но даже имея символы для записи чисел, не так
просто записать какое-либо число. Для этого
нужна система счисления – способ записи
(изображения) чисел по определенным правилам.
Так возникли первые системы счисления.

3. Определение

В математике и информатике принято
символы, участвующие в записи числа,
называть цифрами.
Система счисления – это знаковая
система, в которой числа записываются
по определенным правилам с помощью
символов некоторого алфавита,
называемых цифрами.

4. Классификация систем счисления

Все системы счисления, которые существовали
раньше и которые используются в настоящее
время, делятся на две группы: позиционные и
непозиционные системы счисления.
Непозиционные системы счисления
Непозиционной называют систему счисления, в
которой каждой цифре соответствует величина, не
зависящая от ее места в записи числа.

5. Непозиционные системы счисления

1. Археологами найдены записи единичной системы счисления,
относящиеся к периоду палеолита (10-11 тыс лет до нашей
эры). В ней для записи чисел применялся один знак – палочка (
или узелок, зарубка). Каждое число обозначалось строкой,
составленной из палочек. Это самая примитивная
непозиционная система счисления и, видимо, самая древняя.

6.

2. Во второй половине третьего тысячелетия до нашей эры возникла древнеегипетская
система счисления, в которой использовались специальные знаки (цифры) для
обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107.
В основе древнеегипетской системы счисления лежит просто принцип сложения,
согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его
записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной
непозиционной.

7.

3. Более совершенными непозиционными
системами счисления были
алфавитные системы счисления.
К числу таких систем относились
славянская, ионийская (греческая),
финикийская и другие.
В них числа от 1 до 9, целые количества
десятков (от 10 до 90) и целые
количества сотен (от 100 до 900)
записывались буквами алфавита.

8. Ионическая (греческая) система счисления

Греки не стали выдумывать специальные значки для
обозначения цифр, а использовали буквы. Единицу
они обозначали буквой -α , двойку -β , тройку -γ ,
четверку - δ и т.д. А чтобы не путать числа с буквами,
над ними ставили черточку.
Например, число 843 записывалось так: ___
ωμγ
Таким образом греки записывали числа от 1 до 999.
Для обозначения тысяч греки использовали те же
буквы, но при их записи слева внизу ставили косую
черточку:
__
α = 1000, β = 2000,

9.

10.

В славянской нумерации, как и в греческой,
запись числа шла слева направо, от высших
единиц к низшим, но для чисел
от 11 до 19 делалось исключение: сначала
писали единицы, а затем знак для 10.
Отголоски этого сохранились в нашем языке
(мы говорим «четырнадцать» - «четыре» на
«десять», а не наоборот).
С помощью такой системы легко записать
числа от 1 до 999.

11.

Для записи чисел 1000, 2000 и т.д. слева внизу ставился
символ
.
=1000,
=2000.
Чтобы записать десятки тысяч использовали те же буквы, но
обводили их кружком:
= 10 000,
= 20 000
Для записи сотен тысяч буквы помещали в кружок из точек
= 100 000 ,
а миллион – в кружок из черточек
= 1000000

12.

Такие числа имели специальные названия:
- тьма,
- легион,
- леодр.
Например, число
=
= 2• 106+ 5 •105+4•104+ 103 = 2 541 000
Такая нумерация называлась «малое число».
Существовала и другая нумерация «большое
число». В этой нумерации слово «тьма»
обозначало миллион (106), далее шла «тьма
тем» (1012) - она называлась «легион», а
«легион легионов» (1024) - «леодр». «Леодр
леодров» (1048) - назывался «ворон», а число
1049 называлось колодой.

13.

Считалось, что «более сего несть
человеческому уму разумети».
В России славянская нумерация
сохранялась до конца 17 века (до
реформы Петра I), потом
использовалась только в
богослужебных книгах.

14. Римская система счисления

4. Римская система счисления – самая
распространенная из всех известных непозиционных
систем счисления. Она использовалась более двух с
половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.
В ней для обозначения чисел используются заглавные
латинские буквы, являющиеся цифрами этой системы
счисления.
I –1 (один палец)
V – 5 (раскрытая ладонь)
X – 10 (две раскрытых ладони)
L – 50 (Libra – вес)
C – 100 (Centum - сто)
D – 500 (Demimille – половина тысячи)
M – 1000 (Mille - тысяча).
Для записи промежуточных чисел римляне использовали
не только сложение, но и вычитание.

15.

Каждый меньший знак, поставленный справа от большего,
прибавлялся к его значению (XI – обозначает 11), а меньший,
поставленный слева от большего, вычитается из него (IX –
обозначает 9).
Общий принцип образования числа
Число в римской системе обозначается набором стоящих подряд
цифр.
Значение числа равно:
1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр
(первая группа)
2. разности значений двух цифр, если слева от большей стоит
меньшая. В этом случае от большей цифры отнимается
меньшая (вторая группа)
3. сумме значений групп и цифр, не вошедших не в одну группу.
Например:
CXXXIV = C(XXX)(IV) = 134
MMDIX = (MM)D(IX) = 2000+500+9=2509

16.

Следует иметь ввиду, что единых правил записи римских чисел нет до сих пор. Можно
говорит только о некоторых общих соглашений.
Правила образования римских чисел
1.Числа читаются слева направо
2. Подряд могут идти только цифры – I, X, C, M (но не более трех раз).
3. Цифры V, L, D могут встречать не более 1 раза во всем числе.
4. Меньшая цифра слева от большей цифры может быть меньше
максимум на порядок:
I можно записать слева V или X
X – слева от L или C
C – слева от D или M
То есть слева могут стоять – I, X, C.
5. I, X, C могут быть слева от большей цифры только один раз.
6. Если цифра уже использовалась для уменьшения, то она встречаться
в числе уже не может ( для увеличения использоваться не может).

17. Задания на урок:

1. Перевести из Римской системы счисления
в десятичную:
1. XXXII =
2. LIV =
3. CMX =
4. MCMLXXIV =
5. MMVI =
6. MMDLX =

18. Задания на урок:

2. Перевести из десятичной системы счисления в
Римскую:
1. 44 =
2. 99 =
3. 240 =
4. 333 =
5. 496 =
6. 731 =
7. 1715 =
8. 1999 =
9. 2399 =

19. Задания на урок

3. Перевести из Римской системы счисления в
десятичную или укажите, что число написано
с ошибкой:
1. MMDFX –
2. MMDLXLXXII 3. MMID 4. MMMD =
5. MMDLXXXVII =
6. IXVI -

20. Домашнее задание:

1. Перевести из десятичной системы счисления в Римскую:
888 =
3811=
59 =
183 =
2544 =
2. Перевести из Римской системы счисления в десятичную:
CDXLIV MCMXCVIII CMLXXXVIII MCXLVII –
3. Получить самое большое число по правилам образования чисел в
Римской системе счисления.

21.

Римскими цифрами пользовались еще очень долго.
Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться
римскими цифрами (считалось, что арабские цифры легко подделать).
Римская система счисления сегодня используется в основном для
обозначения знаменательных и юбилейных дат, нумерации томов,
разделов и глав в книгах.
Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков:
1. Для записи больших чисел приходится вводить новые символы. И
всегда есть числа, которые трудно изобразить даже вновь введенными
символами.
2. Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.
3. Сложно выполнять арифметические операции.