КОМБИНАТОРИКА
Что изучает комбинаторика?
Пример 1
Решение
Пример 2
Пример 3
Решение
Решите задачи
Решение задач
Пример 4
Решение
Правила сложения и умножение
Правило сложения.
Пример 5
Решение
Пример 6
Решение
Правило умножения (основное правило комбинаторики).
Пример 7
Решение
Пример 8
Решение
Правило умножения в общем виде.
Пример 9
Решение
Пример 10
Решение
Пример 11
Решение
Перестановки
Формула для вычисления перестановок
Пример 12
Решение
Пример 13
Решение
Пример 14
Решение
Пример 15
Решение
Размещения
Обозначение
Формула для вычисления размещений
Пример 16
Пример 17
Пример 18
Пример 19
Сочетания
Формула для вычисления сочетаний
Пример 20
Пример 21
Решение
Пример 22
Решение
Решите задачи
Решение задач
Решите задачи
Решение задач 4,5
Решение задачи 6
Решение задачи 7
Решите задачи
Задача 8
Задача 11
Задача 13
Способы решения задачи 13
Задача 14
Задача 15
Задача 16
Задача 17
Задача 18
Задача 19
Задача 20
Задача 21
Задача 22
Задача 23
Решение задачи 23
Задача 24
Решите задачи
Решите задачи
Решите задачи
Ответы
1.57M
Категория: МатематикаМатематика

Комбинаторика

1. КОМБИНАТОРИКА

Основные понятия, определения и решение задач.
Составитель учитель математики МАОУ СОШ № 40
САЛИЙ ВАЛЕНТИНА ПАВЛОВНА

2. Что изучает комбинаторика?

• В науке и практике часто встречаются задачи, решая
которые приходится составлять различные комбинации из
конечного числа элементов и подсчитывать число
комбинаций. Такие задачи получили название
комбинаторных задач, а раздел математики, в котором
рассматриваются подобные задачи, называют
комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от
латинского слова combinare, которое означает «соединять,
сочетать».

3. Пример 1

• Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека
– Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер
выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько
существует вариантов выбора такой пары?

4. Решение

• Составим сначала все пары, в которые входит
Антонов (для краткости будем писать первые
буквы фамилий). Получим три пары : АГ, АС, АФ.
Выпишем пары, в которые входит Григорьев, но
не входит Антонов : ГС, ГФ. Далее составим пары,
в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и
Григорьев : СФ. Других вариантов нет. Итак,
получили шесть пар : АГ, АС, АФ,ГС,ГФ,СФ.
• Способ рассуждений, которым решена задача,
называют перебором возможных вариантов.

5. Пример 2

• Четыре ученика класса Миша, Саша,
Алёша, Таня углублённо изучают
математику. На математическую
олимпиаду требуется послать двух
учеников. Сколькими способами это можно
сделать?

6.

7. Пример 3

• В меню столовой три первых блюда А1 ,А2
А3, два вторых В1, В2 и три сока С1, С2, С3.
Сколько вариантов комплексного обеда
можно составить из этих блюд?

8. Решение

9. Решите задачи

• №1 У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина,
Полина и Светлана. Она решила двух из них
пригласить в кино. Укажите все возможные
варианты выбора подруг. Сколько таких
вариантов?
• №2 Стадион имеет четыре выхода: А, В, С,Д.
Укажите все возможные способы, какими
посетитель может войти через один выход , а
выйти через другой. Сколько таких способов?

10.

№3 Из цифр 1,2,3 составьте все возможные
двузначные числа при условии, что:
а) цифры в числе не повторяются;
б) допускается повторение цифр в числе.

11. Решение задач

• №1. ВЗ, ВМ, ВП, ВС; ЗМ,ЗП,ЗС; МП,МС; ПС.
Всего 10 вариантов.
• №2 АВ, АС, АД; ВС, ВД,СД;
ВА,СА,ДА,СВ,ДВ,ДС. Всего12 вариантов.
• №3 а)12, 13, 23,21,31,32.
• б) 11,12,13,22,21,23,31.32,33.

12. Пример 4

• В посёлке имеется 5 светофоров. Каждый
может находиться в одном из трёх
состояний (гореть красным, зелёным или
жёлтым светом). Сколькими способами
можно зажечь все светофоры?

13. Решение

• Первый светофор может быть включён тремя
разными способами. Для каждого способа
включения первого светофора можно получить 3
способа включения второго светофора, т.е. будем
иметь 3 • 3 способов включения двух светофоров.
Из всякого способа включения двух светофоров
снова можно получить три способа включения
третьего светофора, изменяя его состояние, всего
получаем 3 • 3 • 3 способов включения трёх
светофоров. При включении каждого нового
светофора число способов увеличивается в три
раза. Значит, пять светофоров могут быть включены
3 • 3 • 3 • 3 • 3 = З5 способами. Ответ: 243 способа.

14. Правила сложения и умножение

• Задачи комбинаторики решаются проще,
если использовать комбинаторные
правила сложения и умножения. Пусть
даны два непересекающихся множества
элементов: А ={a1 а2, ..,аn} и B ={Ь1, Ь2, .., Ьn }.

15. Правило сложения.

• Если элемент а(а ϵ А) может быть выбран n
способами, а элемент Ь(Ь ϵ В) может быть
выбран m способами, то число способов,
которыми можно выбрать один элемент из
множества А или множества B, равно сумме
n + m.

16. Пример 5

• В одном классе 25 учеников, в другом — 27
учеников. Сколькими способами можно
выбрать одного ученика из двух классов?

17. Решение

• Решение. 25 + 27 = 52. Ответ: 52.

18. Пример 6

• Для проезда из города М в город N можно
воспользоваться 5 автобусными
маршрутами или 3 железнодорожными.
Сколькими способами можно проехать из
города М в город N?

19. Решение

• Решение. По формуле сложения количество
способов равно сумме 5 + 3 = 8. Ответ: 8.

20. Правило умножения (основное правило комбинаторики).

• Если элемент а(а ϵ А) может быть выбран n
способами, а элемент b (b ϵ В) после
каждого выбора элемента а может быть
выбран m способами, то число способов,
которыми можно выбрать пару элементов а
и b в указанном порядке по одному из
каждого множества, равно произведению
n •m.

21. Пример 7

• В одном классе 25 учеников, в другом — 27
учеников. Сколькими способами можно
выбрать двух учеников по одному из
каждого класса?

22. Решение

• Одного ученика первого класса можно
выбрать 25 способами, а второго класса —
27 способами. Двух учеников по одному из
каждого класса (по правилу умножения)
можно выбрать 25 • 27 способами; 25 • 27
= 675. Ответ: 675.

23. Пример 8

• На книжной полке стоит 6 исторических
романов и 4 приключенческих. Сколькими
способами можно взять с полки 2 книги
разных жанров?

24. Решение

• По правилу умножения существует 6 • 4
способов взять с полки 2 книги разных
жанров. Ответ: 24.

25. Правило умножения в общем виде.

• Пусть имеем n элементов, из которых
требуется выбрать один за другим некоторые
k элементов. Если первый элемент можно
выбрать n1 способами, после чего второй
элемент можно выбрать n2 способами, затем
третий элемент — n3 способами и т.д., то число
способов, которыми могут быть выбраны все k
элементов, равно произведению
n1 • n2 • n3 • ... • nk.

26. Пример 9

• Собрание из 30 человек должно выбрать
председателя и секретаря. Сколькими
способами это можно сделать?

27. Решение

• Председателем собрания можно выбрать
30 способами, после чего секретаря — 29
способами (из 29 оставшихся членов
собрания). По правилу умножения
существует 30 • 29 способов выбора
председателя и секретаря. 30•29 = 870.
Ответ: 870.

28. Пример 10

• Сколькими способами можно рассадить 5
гостей за праздничным столом, если
приготовлено 8 мест?

29. Решение

• Для первого гостя имеется 8 возможностей
выбрать место. После выбора места
первым, для второго гостя остаётся 7
возможностей, аналогично для третьего
гостя — 6 возможностей (из 6 свободных
мест), для четвёртого — 5 вариантов, для
пятого — 4. По правилу умножения
получаем 8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720 способов
рассадить гостей. Ответ: 6720.

30. Пример 11

• Из 10 членов шахматного кружка требуется
составить команду из 3 человек для участия
в соревнованиях. Сколькими способами
это можно сделать?

31. Решение

• Первого члена команды (на первую доску)
можно выбрать 10 способами, после чего
второго (на вторую доску) — 9 способами,
а третьего (на третью доску) — 8
способами. Всего получаем 10 • 9 • 8= 720
вариантов выбора трёх шахматистов из
десяти. Ответ: 720.

32. Перестановки

• Перестановкой называется конечное
множество, в котором установлен порядок
его элементов. Число перестановок из n
элементов обозначают символом Рn (от
французского слова permutation —
«перестановка»).

33. Формула для вычисления перестановок

• Число перестановок из n элементов равно
произведению всех натуральных чисел от
1 до n;
• Рn = n!.

34. Пример 12

• Сколькими способами семья из 5 человек
может занять пять спальных мест в
пятиместном гостиничном номере?

35. Решение

• Р5=1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
• Ответ: 120.

36. Пример 13

• Каким числом способов 8 человек могут
находиться в очереди?

37. Решение

• Р8=1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 = 40 320.
Ответ: 40 320.

38. Пример 14

• Сколько различных четырёхзначных чисел
можно составить из цифр 9, 7, 5, 0, если в
каждом числе все цифры должны быть
разными?

39. Решение

• Если бы среди данных цифр не было нуля, то
количество составленных из них четырёхзначных
чисел (без повтора цифр в каждом числе) было бы
равно количеству перестановок из 4 элементов:
• Р4 = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.
• Целое число не может начинаться цифрой 0. Среди
найденных 24 чисел с цифры 0 будет начинаться
столько чисел, сколько существует перестановок из
3 элементов (цифр 9, 7, 5): Р3 = 1 • 2 • 3 = 6.
• Значит, четырёхзначных чисел, составленных из
данных цифр, будет Р4 - Р3 = 24 - 6 = 18. Ответ: 18.

40. Пример 15

• 9 мальчиков купили 9 билетов в театр.
Сколькими способами они могут занять 9
кресел в театральном ряду, если Миша,
Петя и Ваня обязательно хотят сидеть
рядом (в любом порядке).

41. Решение

• Будем считать трёх неразлучных друзей (Мишу, Петю и Ваню)
как один элемент общей компании, а три занятых ими кресла —
как одно место. Тогда можем считать, что размещаем 7 человек
в 7 креслах. Это можно сделать столькими способами, каково
число перестановок из 7 элементов: Р7 =1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 =
5040.
• В то же время трое друзей (Миша, Петя и Ваня) в своих трёх
креслах могут распределиться Р3 способами
• Р3 = 1 • 2 • 3 = 6.
• Таким образом, каждой перестановке из 7 элементов
соответствует любая перестановка из трёх элементов. Всего
перестановок по правилу умножения будет
• Р7 • Р3 = 5040 • 6 = 30 240.
• Ответ: 30 240.

42. Размещения

43. Обозначение

44. Формула для вычисления размещений

45. Пример 16

• Учащиеся класса изучают 11 различных
предметов. Сколькими способами можно
составить расписание на один день, чтобы
в нём было 5 различных предметов?

46.

47. Пример 17

• Сколько четырёхзначных чисел можно
составить из нечётных цифр, если все
цифры в числе различны?

48.

49. Пример 18

• Сколькими способами 10 человек могут
занять четыре кресла, имеющиеся в
комнате?

50.

51. Пример 19

• В одиннадцатом классе 25 учащихся. На
выпускном вечере ребята обменялись друг
с другом фотокарточками. Сколько всего
было роздано фотокарточек?

52.

53. Сочетания

• Сочетанием из n элементов по k называется
любое множество, составленное из k
элементов, выбранных из данных п
элементов. В отличие от размещений,
сочетания различаются только элементами,
и не имеет значения, в каком порядке
заданы элементы.
• Например, {а, Ь, с} и {Ь, с, а} — одно и то же
сочетание.

54. Формула для вычисления сочетаний

55. Пример 20

• В вазе стоят 10 красных и 5 белых роз.
• а) Сколькими способами можно составить
букет из 3 роз?
• б) Сколькими способами можно составить
букет из 1 красной и 2 белых роз?

56.

57. Пример 21

• Из 9 мальчиков и 11 девочек спортивного
класса для участия в соревнованиях надо
составить команду, в которую должны
входить 3 мальчика и 3 девочки.
Сколькими способами это можно сделать?

58. Решение

59. Пример 22

На витрине магазина выставлено 6 сортов
сыра и 5 видов йогурта. Покупателю
требуется 2 куска сыра разных сортов и 3
йогурта разного вида. Сколькими
способами покупатель может составить
свою покупку?

60. Решение

61. Решите задачи

• 1. Для проезда из города М в город N можно
воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3
железнодорожными. Сколькими способами можно
проехать из города М в город N?
• 2. Из города А в город С можно проехать лишь с
пересадкой в городе Б. Из А в Б существуют 3
автобусных маршрута и 2 железнодорожных. Из Б в С
можно проехать 4 поездами или 2 автобусами. Сколько
существует вариантов проезда из города А в город С?
• 3. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10
третьекурсников надо выбрать трёх студентов на
конференцию. Сколькими способами это можно
сделать, если студенты должны быть разных курсов?

62. Решение задач

• 1. По формуле сложения количество
способов равно сумме 5 + 3 = 8. Ответ: 8.
• 2. Из А в Б можно проехать 3 + 2 = 5
способами, а из Б в С — 6 способами
(4 + 2 = 6). По формуле умножения из А в С
можно проехать 5 • 6 = 30 способами.
Ответ: 30.
• 3.По теореме умножения получаем 5•7•10
= 350 способов. Ответ: 350.

63. Решите задачи

• 4. Сколькими способами можно расставить на
полке 10 различных книг?
• 5. На полке стоит 8 разных книг по математике и 2
разные книги по физике. Сколькими способами
можно расставить эти книги, если книги по физике
должны стоять рядом?
• 6. Сколькими способами можно расставить на
полке 7 различных книг так, чтобы определённые
три книги стояли рядом?
• 7. Сколькими способами можно расставить на
полке 7 различных книг, чтобы определённые 3
книги не стояли рядом?

64. Решение задач 4,5

• 4. Количество способов равно числу перестановок
из 10 элементов. Р10 = 10! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7
8 • 9 • 10 = 3 628 800. Ответ: 3 628 800.
• 5. Будем рассматривать 2 книги по физике как одну
книгу. Тогда 9 книг можно расставить Р9 способами.
Далее 2 книги по физике можно в каждом случае
поставить двумя разными способами. По правилу
умножения общее количество вариантов равно 2
Р9 = 2 • 9! = 2 • 1 • 2 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 9 = 725 760.
Ответ: 725 760.

65. Решение задачи 6

• Если 3 указанные книги рассматривать как
одну книгу, то 5 книг (7-3 + 1 = 5) можно
расставить Р5 способами. Затем для
каждого полученного способа имеем Р3
способов расстановки 3 книг. По правилу
умножения всего будет Р5 • Р3 вариантов
расстановки книг согласно условию задачи.
Р5 • Р3 = 5! • 3! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 1 • 2 • 3 =
720. Ответ: 720.

66. Решение задачи 7

• 7 книг можно расставить на полке Р7
способами; Р7 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 =
5040. В 720 случаях указанные книги будут
стоять рядом (см. задачу 6). Значит, в
остальных случаях будут выполняться
условия данной задачи. 5040 - 720 = 4320.
Ответ: 4320.

67. Решите задачи

• 8. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 20
местах?
• 9. Требуется распределить 4 путевки на 4 различные турбазы
среди 9 работников. Каким количеством способов можно это
сделать?
• 10. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 9, 8, 7,
6, 2, если цифры в числе не повторяются?
• 11. Ученики 6 класса изучают 11 различных учебных предметов.
Сколькими способами можно составить расписание из 5
различных предметов на понедельник, если математика
должна быть вторым уроком?
• 12. Сколькими способами можно рассадить 6 пассажиров в
разные вагоны (по одному в вагон), если в составе поезда 11
вагонов?

68. Задача 8

Задача 9
Задача 10

69. Задача 11

3адача 12

70. Задача 13

• Сколько существует пятизначных чисел с
неповторяющимися цифрами, которые
делятся на 10?

71. Способы решения задачи 13

72. Задача 14

• Сколько существует двузначных чисел с
неповторяющимися цифрами, у которых
обе цифры чётные?

73. Задача 15

• Из 16 рабочих надо выделить 5 для
выполнения некоторой работы. Сколькими
способами это можно сделать?

74. Задача 16

• На плоскости даны 9 точек, никакие 3 из
них не лежат на одной прямой. Сколько
прямых можно провести, соединяя точки
попарно?

75. Задача 17

• Сколькими способами можно составить
букет из 5 цветков, если имеем 8 ромашек
и 7 васильков?

76. Задача 18

• Сколькими способами можно разделить
группу из 15 человек на 2 группы так, чтобы
в одной было 10 человек, а в другой — 5?

77. Задача 19

• Сколькими способами читатель библиотеки
может выбрать 3 книги из 5 предложенных
библиотекарем?

78. Задача 20

• В турнире принимали участие 15
шахматистов, и каждые 2 шахматиста
встретились один раз. Сколько партий было
сыграно в турнире?

79. Задача 21

• Сколько можно составить из простых
делителей числа 2730 составных чисел,
которые содержат только три простых
делителя?

80. Задача 22

• В коробке лежит 12 синих и 8 красных
карандашей. Сколькими способами можно
выбрать 3 синих и 2 красных карандаша?

81. Задача 23

• Сколькими способами можно отправить 15
школьников в 3 спортивных лагеря, если в
один из них могут принять 8 школьников,
во второй — 3, а в третий — 4 школьника?

82. Решение задачи 23

83. Задача 24

• Сколькими способами можно разделить 10
билетов в кино, 4 билета в театр и 3 билета
в цирк среди 17 человек?

84. Решите задачи

• 25. Сколько четырехзначных чисел, кратных
10, можно составить из цифр 0,5,7,8, и 9?
• 26. Сколькими различными способами
можно назначить двух ребят на дежурство
в столовой, если в классе 24 учащихся?
• 27. Сколькими различными способами
могут распределиться призовые места
( первое, второе, третье ) между пятью
велогонщиками?

85. Решите задачи

• 28. Сколько различных четырехзначных
чисел можно составить с использованием
нечетных цифр, если цифры в числе не
повторяются?
• 29. Сколько различных трехзначных чисел,
кратных пяти, можно составить из нечетных
цифр, если цифры в числе не могут
повторятся?

86. Решите задачи

• 30. Секретный замок состоит из трех
барабанов, на каждом из которых
набирается одна из цифр от 0 до 9. Сколько
существует способов выбрать код этого
замка, если владелец использует только
нечетные цифры, которые могут
повторятся?
• 31. Сколько существует трехзначных чисел,
в записи которых нет цифры 3?

87. Ответы

• 25. 100
• 26. 276
• 27. 60
• 28. 120
• 29. 12
• 30. 125
• 31. 648
English     Русский Правила