Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ижевский государственный технический университет
имени М. Т. Калашникова»
Кафедра «АСОИУ»
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание.
Операции над высказываниями»
Автор Исенбаева Е.Н., старший преподаватель
Ижевск
2013

2. ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Высказывание – связное
повествовательное предложение, о котором
можно сказать истинно оно или ложно.
Примеры:
•2 x 3=8 (высказывание ложное);
•площадь отрезка меньше длины куба (не
высказывание)
•Город стоит на берегу пруда(не
высказывание- предикат)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
2

3. ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Высказывания a и b равносильны
(a ≡ b)
a=b
(истинностные значения
высказываний совпадают).
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
3

4. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ

Отрицание (унарная операция):
Конъюнкция (логическое умножение)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
4

5. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ

Дизъюнкция (логическое сложение)
Эквиваленция (тогда и только тогда)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
5

6. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ

Импликация – соответствует «если…, то…»,
«из…следует» в русском языке
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
6

7. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ОПЕРАЦИЯМИ

Теорема 1
Через
можно выразить любую операцию
алгебры высказываний.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
7

8. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ОПЕРАЦИЯМИ

Теорема 2
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
8

9. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ОПЕРАЦИЯМИ

Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
9

10. ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Алфавит – это любое непустое
множество. Элементы этого множества –
символы данного алфавита.
Слово в алфавите – произвольная
конечная последовательность символов
(возможно, пустая).
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
10

11. ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Алфавит логики высказываний
содержит следующие символы:
-высказывательные переменные x,y,z…
-логические символы ⌐,˅,→,&,↔
-символы скобок ( , )
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
11

12. ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Слово в алфавите логики высказываний
называется формулой, если:
1. Любая высказывательная переменная – формула.
2.
Только те слова являются формулами, для которых это
следует из пунктов 1, 2.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
12

13. ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Расположим логические операции в порядке
убывания приоритета:
1. Отрицание ¬;
2. Конъюнкция &, штрих Шеффера |, стрелка
Пирса ↓;
3. Дизъюнкция V;
4. Импликация →;
5. Эквиваленция ↔, сложение по mod 2.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Алгебра высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями.»
13

14.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
© ФГБОУ ВПО ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, 2013
© Исенбаева Елена Насимьяновна, 2013