Критерии подобия. π-теорема и ее следствия. Определение критериев подобия с использованием теории размерностей

1. Критерии подобия. π-теорема и ее следствия. Определение критериев подобия с использованием теории размерностей.

Занятие 2

2.

1. Критерии подобия
Критерии подобия — безразмерные комбинации,
которые составлены из физических величин,
описывающих процессы в исследуемых объектах
Критерии подобия должны обладать четким
физическим смыслом
Обозначаются критерии буквой π
В соответствии с теорией подобия при экспериментах необходимо измерять все величины, входящие в
состав критериев
Обрабатывать результаты следует в виде зависимостей между критериями подобия. Полученные
таким образом зависимости будут справедливы не
только для данного эксперимента, но и для всех
Основы научных исследований
2
подобных объектов

3.

Например, критериями практического подобия
двух однотипных лопастных машин, работающих в
установившихся режимах, являются безразмерный
напор π1 и безразмерная подача π2
gH
1 H 2 2
n D2
Q
2 Q 3
nD2
H — напор насоса
Q — подача насоса
n — частота вращения ротора
D2 — диаметр рабочего колеса
Зависимость безразмерного напора от безразмерной
подачи представляет собой безразмерную (типовую)
напорную характеристику лопастной машины
Она не связана с размерами, частотой вращения
ротора и плотностью жидкости, а характеризует
только особенности гидродинамической схемы и
является одинаковой для всего семейства
3
лопастных машин Основы научных исследований

4.

При создании крупных машин первоначально
изготовляет несколько небольших моделей
различных гидродинамических схем и проводят их
испытания
Определяя критерии π1 и π2 для различных режимов,
строят график зависимости π1 от π2 — безразмерную
характеристику, а затем по законам подобия определяют размеры, частоту вращения и строят зависимость напора от подачи для натурной машины
Пропорциональность сходственных параметров,
входящих в условия однозначности, для лопастных
машин, работающих в установившихся режимах,
выполняется при их геометрическом подобии,
которое требует одинаковости форм и одинакового
отношения сходственных размеров.
Геометрическое подобие является обязательным
условием практического
подобия большинства
Основы научных исследований
4
объектов

5.

Лопастная машина состоит из подвода, рабочего
колеса и отвода. Два рабочих колеса, например,
радиальной машины, будут геометрически
подобными, если число и форма лопаток у них
будут одинаковыми, а сходственные размеры будут
находиться в соотношении
D1н D2н B2н
D1м D2м B2м
где D1н, D2н, B2н и D1м, D2м, B2м — диаметр входа,
диаметр и ширина колеса соответственно натурной
и модельной машин
Для геометрического подобия лопастных машин,
кроме рабочих колес, должно быть соблюдено
подобие их подводов и отводов
Основы научных исследований
5

6.

D2н
D1н
B2н
D2м
D1м
B2м
Рабочие колеса
геометрически
подобных
центробежных
Основы научных исследований насосов
6

7.

2. π-теорема и ее следствия
В соответствии с π-теоремой, если процесс в
объекте характеризуется m фундаментальными
физическими величинами, для выражения
размерностей которых используется k основных
единиц, то этот процесс можно описать m – k
безразмерными комбинациями, составленными
из этих величин
Основы научных исследований
7

8.

Из теоремы следует два важных вывода:
1. Уравнения, описывающие физические процессы,
могут быть выражены уравнениями связи между
безразмерными комбинациями — критериями
подобия. Последние уравнения будут справедливы
для всех подобных объектов
2. Число независимых критериев равно m – k, т.е.
меньше числа размерных физических переменных
на число основных единиц. Уменьшение числа
переменных, которыми описывают процесс, ведет
к уменьшению объема экспериментальных
исследований и делает результаты более
Основы научных исследований
8
наглядными

9.

Предположим, что процессы в объекте описываются m = 5 фундаментальными физическими величинами. Одна из них выходная — параметр и четыре
входных — факторы
Решено экспериментальным путем установить
связь между выходной и входными величинами, не
прибегая к безразмерным комбинациям
Пусть при постановке опытов каждый фактор будет
фиксироваться на пяти уровнях. В этих условиях
для перебора всех возможных сочетаний необходимое число опытов, равное сложности объекта,
составит C = 54 = 625. Выполнить такое количество
опытов весьма затруднительно
Основы научных исследований
9

10.

Сложен также анализ результатов эксперимента,
поскольку необходимо получить зависимость в виде
функции четырех переменных. Подобрать такую
зависимость весьма сложно. Кроме того, результаты
опытов практически невозможно будет представить
графически
Перейдем к безразмерным комбинациям.
Предположим, что число основных единиц k = 3 —
это очень часто встречающийся случай при исследовании механических и гидравлических систем
В условиях рассматриваемого примера в соответствии с π-теоремой после перехода к критериям
подобия число безразмерных переменных составит
m – k = 5 – 3 = 2. Одна из них — безразмерный
параметр, вторая — обобщенный безразмерный
фактор
Основы научных исследований
10

11.

Для получения данных, одинаково достоверных с
данными экспериментов без использования
критериев подобия, в последнем случае достаточно
будет поставить не 625, а всего 5 опытов.
При переходе к безразмерным комбинациям
упрощается анализ и графическое представление
информации. Зависимость безразмерного параметра
от обобщенного безразмерного фактора описывается функцией одной переменной и будет представлена на графике одной линией
Известны два способа определения критериев
подобия: с помощью анализа размерностей и по
уравнениям процесса
Основы научных исследований
11

12.

3. Определение критериев подобия с
использованием теории размерностей
Решение этой задачи состоит из трех этапов:
На первом этапе выбираются фундаментальные
переменные — параметры и факторы.
Для правильного выбора факторов (входных
переменных) необходимо глубокое проникновение в
суть исследуемого объекта. Часто это требует не
только изучения априорной информации, но и
постановки предварительных экспериментов. Если
после выбора фундаментальных переменных
система безразмерных комбинаций не получается,
то необходимо возвратиться к анализу объекта
Основы научных исследований
12
исследования.

13.

На втором этапе выбирается система основных
единиц для выражения размерностей фундаментальных переменных
В качестве основных рекомендуется принимать
основные единицы СИ:
Единица
длины
массы
времени
силы тока
температуры
количества
вещества
силы света
Обозначение Размерность
Название
l
L
m
M
t
T
I
I
θ
K
n
N
J
J
Основы научных исследований
метр
килограмм
секунда
ампер
кельвин
моль
кандела13

14.

Используя размерности основных единиц, можно
составить формулы размерностей всех
фундаментальных переменных.
Например, известно, что сила
F = ma
определяется зависимостью
Формула размерности силы определяется как произведение формул размерности массы и ускорения
F m a MLT
2
Записав формулы размерностей всех фундаментальных переменных, описывающих процессы в объекте,
устанавливают, какие размерности основных единиц
в них входят. Эти единицы и будут составлять
систему основных единиц в условиях конкретной
задачи
Основы научных исследований
14

15.

На третьем этапе определяются критерии подобия
с использованием теории размерностей.
Для размерной функциональy f x1 , x2 , xn
ной зависимости
размерности левой и правой частей должны быть
равны:
y f x1 , x2 , xn
или
y
f x1 , x2 , xn
1
Основы научных исследований
15

16.

Пример. Определение критериев подобия процесса
силового взаимодействия шара с обтекающим
потоком жидкости.
v, ρ, μ
F
d
25
20
15
10
5
0
Схема стенда для определения
силы воздействия потока на шар
Основы научных исследований
16

17.

Шар помещен в трубопровод настолько большого
внутреннего диаметра, что стеснением им потока
можно пренебречь. Гибкой нитью шар связан через
блок с пружинным динамометром.
Усилие F зависит от свойств шара и потока.
Если шероховатостью шара можно пренебречь, его
свойства определяются одной переменной —
диаметром d.
Свойства потока оцениваются средней скоростью v,
плотностью ρ и вязкостью μ жидкости. Таким
образом, в рассматриваемое случае
фундаментальных переменных пять: параметр F и
факторы d, v, ρ и μ.
Основы научных исследований
17

18.

Формулы размерностей фундаментальных
переменных
Величина
Обозначение
Сила взаимодействия
шара и потока жидкости
Размерность
F
M L T-2
Плотность жидкости
v
ρ
L T-1
M L-3
Динамическая
вязкость жидкости
μ
M L-1 T-1
Диаметр шара
d
L
Скорость жидкости
Основы научных исследований
18

19.

Критерий (безразмерная комбинация) в общем
случае может быть представлен произведением
фундаментальных переменных в определенных
степенях.
В рассматриваемом случае F x d y v z u w
где x, y, z, u, w — показатели степеней
Показатели могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными числами. Они могут
принимать и нулевое значение. В последнем случае
критерий не будет зависеть от соответствующей
фундаментальной переменной
Представим искомую зависимость в виде
F d v 1
a
b c
e
f
где a, b, c, e, f — неизвестные показатели степеней
Основы научных исследований
19

20.

Если зависимость справедлива относительно переменных, то она будет справедлива и относительно
размерностей. Подставим в уравнение вместо переменных их размерности. Левую часть уравнения
представим произведением размерностей в нулевых
степенях
MLT L LT ML ML T M L T
2 a
b
1 c
3 e
1
1 f
0 0
Чтобы последнее выражение было справедливым,
должны выполняться условия равенства показателей степени для каждой из трех основных единиц
для M
для L
для T
a e f 0;
a b c 3e f 0;
2a c f 0.
Основы научных исследований
20
0

21.

Выразим переменные b, c и e через a и f и
подставим в искомую зависимость
e=–a–f;
c = –2a – f ;
b = –2a – f
a 2 a f 2 a f a f
f
F d
v
1
Объединим члены,
имеющие одинаковые
показатели степеней
a
f
F
2 2
1
d v v d
В качестве критериев подобия
F
могут быть приняты комплексы:
1
2
2
d v
— безразмерное усилие
Усилие, действующее со стороны потока на шар,
делится на произведение площади квадрата,
сторона которого равна диаметру шара (d 2) и
удвоенного скоростного давления ρv2
Основы научных исследований
21

22.

2
vd
Так как μ / ρ = γ — кинематический
коэффициент вязкости жидкости, а
v d / γ = Re — число Рейнольдса, то
По теории подобия произведение,
частное нескольких критериев или
возведение их в произвольную степень дадут
новый критерий. Таких критериев можно
получить бесчисленное множество. Однако независимых среди них будет только m – k критериев.
Следовательно, можем избавиться от показателя
π2 = Re.
степени и принять
π2 = Re-1
F
d 2 v2
График зависимости
безразмерного усилия
взаимодействия шара
с потоком жидкости
Re от числа Рейнольдса
Основы научных исследований
22