Планирование эксперимента

1. Планирование эксперимента

2.

Планирование однофакторного эксперимента не
представляет трудностей — необходимо выбрать
интервал варьирования фактора и количество
уровней, на которых необходимо фиксировать
фактор
Планирование многофакторного эксперимента
представляет более сложную задачу, поскольку
необходимо определить не только интервалы
варьирования и количество уровней каждого из
факторов, но и порядок их изменения — план
эксперимента.
Основы научных исследований
2

3.

1. Классификация планов
1.1. По порядку аппроксимирующего полинома,
коэффициенты которого ищутся в ходе
эксперимента, бывают:
•планы первого порядка, предназначенные для
поиска коэффициентов линейного уравнения
k
Y b0 bi X i
(5.1)
i 1
Y — параметр
Xi — i-й фактор
k — количество факторов
b0, bi — искомые коэффициенты
Основы научных исследований
3

4.

•планы второго порядка, в которых искомая
зависимость аппроксимируется уравнением
k
C
k
Y b0 bi X i bij X i X j bii X
i 1
i , j 1
i 1
2
i
(5.2)
j — порядковый номер, отличный от i, причем j < i
C — количество возможных сочетаний из k по 2
k!
C
2 (k 2)!
Основы научных исследований
(5.3)
4

5.

По способу перебора факторов различают:
•полный факторный эксперимент (ПФЭ), при
котором выполняется перебор всех возможных
сочетаний факторов
•дробный факторный эксперимент (ДФЭ), план
которого представляет некоторую часть плана
ПФЭ (½, ¼ и т.д.), при этом перебор сочетаний
факторов будет неполным
Основы научных исследований
5

6.

2. Область определения, интервалы
варьирования и уровни факторов.
Кодирование факторов
Областью определения факторов называется
диапазон изменения их значений, принятый при
реализации плана эксперимента:
X2
(5.4)
X X ;X
i
i min
i max
X2 max
Для двухфакторного
эксперимента область
определения
X2 min
представляет собой
прямоугольник
X1 min
X1 max X1
Основы научных исследований
6

7.

для трехфакторного — прямоугольный
параллелепипед
для k-факторного — k-мерный параллелепипед
X3
X3 max
X3 min
X1 min
X2 min
X2 max
X2
X1 max
X1
Основы научных исследований
7

8.

Уровнем фактора называется его значение,
фиксируемое в эксперименте. Экспериментатор
может устанавливать любой уровень фактора в
пределах области его определения (5.4)
Различают верхний, нижний и нулевой уровни.
Верхний и нижний уровни соответствуют
границам области определения Xi max и Xi min
Нулевой уровень соответствует середине
интервала (5.4):
X i min X i max
(5.5)
X i0
2
Интервалом варьирования называют величину,
равную максимальному отклонению уровня
фактора от нулевого
(5.6)
X X X
X
X
i
i0
i min
i max
Основы научных исследований
i0
8

9.

Для дальнейшего планирования эксперимента
целесообразно перейти от натуральных значений
факторов к кодированным
X i X i0
xi
X i
(5.7)
Кодированные значения любого фактора на
нижнем, верхнем и нулевом уровнях составляют
xi min = –1 xi max = 1 xi 0 = 0
Область определения
кодированных факторов для
двухфакторного эксперимента
представляет собой квадрат, для
–1
трехфакторного — куб, для kфакторного — k-мерный куб
Основы научных исследований
x2
1
1
–1
x1
9

10.

Использование кодированных значений
факторов при планировании и обработке
экспериментальных данных дает преимущества:
•кодированные значения безразмерны, что
позволяет сравнивать между собой уровни
различных физических величин
•кодированное значение уровня фактора, в
отличие от натурального, дает представление о
положении уровня относительно границ
интервала
•использование кодированных значений
значительно облегчает разработку матрицы
планирования эксперимента
Основы научных исследований
10

11.

Поскольку кодированные значения xi безразмерны
и изменяются в одинаковых интервалах [–1; +1], то
все коэффициенты полинома имеют одинаковую
размерность, равную размерности параметра Y, а
величина коэффициентов однозначно определяет
степень влияния данного члена полинома на
величину параметра. Исключив из уравнения члены,
коэффициенты при которых малы, можно
значительно упростить полученную зависимость
Основы научных исследований
11

12.

3. Матрица планирования полнофакторного
эксперимента
План эксперимента принято составлять в виде
матрицы планирования — таблицы, каждая строка которой соответствует некоторому сочетанию
уровней факторов, которое реализуется в опыте
Существует несколько приемов построения
матрицы. При фиксации каждого фактора только на
двух уровнях (–1 и +1), наиболее распространен
прием чередования знаков
Прием состоит в том, что для первого фактора знак
меняется в каждой следующей строке, для второго
— через две строки, для третьего — на каждой
четвертой строке и т.д.
Основы научных исследований
12

13.

Номер
опыта
1
2
3
2
ПФЭ 2 4
5
6
7
3
ПФЭ 2 8
9
10
11
12
13
14
15
4
ПФЭ 2 16
x0
x1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
Факторы
x2
x3
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
Основы научных исследований
x4
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Параметр
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
Y16
13

14.

Матрицы ПФЭ обладают рядом свойств,
позволяющих проверить правильность их
составления:
1. Свойство симметричности — каждый фактор
в матрице на верхнем уровне встречается
столько же раз, сколько и на нижнем
n
u — номер опыта
(5.8)
xiu 0
n — количество
u 1
опытов, n = 2k.
2. Свойство нормировки — каждый фактор в
матрице встречается только на уровнях –1 и +1:
n
u 1
2
xiu n
(5.9)
Основы научных исследований
14

15.

Матрицы ПФЭ обладают рядом свойств,
позволяющих проверить правильность их
составления:
3. Свойство ортогональности — суммы
почленных произведений двух любых столбцов
равны нулю:
n
xiu x ju 0
(5.10)
u 1
4. Свойство ротабельности — точки в матрице
выбираются так, что точность предсказания
параметра одинакова во всех направлениях
Основы научных исследований
15

16.

4. Дробный факторный эксперимент
С увеличением числа факторов резко возрастает
количество опытов ПФЭ: при 5-и факторах оно
равно 32, при 6-и — 64 и т.д. Выполнить такое
количество опытов технически сложно.
Кроме того, значительно возрастает число
степеней свободы, т.е. число избыточных значений Yu при нахождении коэффициентов полинома. Для ПФЭ 25 необходимо найти 6
коэффициентов, следовательно число степеней
свободы 32 – 6 = 24.
Существует методика уменьшения числа опытов
— дробный факторный эксперимент, план
которого представляет собой некоторую часть
(½, ¼ и т.д.) плана ПФЭ
Основы научных исследований
16

17.

Построение плана ДФЭ.
Способом чередования знаков заполняются столбцы не для всех, а только для части факторов.
Поскольку в линейной модели (5.1) эффекты
взаимодействия между несколькими факторами не
учитываются, уровни оставшихся факторов
получаются с использованием некоторых
генерирующих соотношений между факторами
первой группы
Генерирующее соотношение — произведение
факторов, заменяемое в матрице новой независимой переменной
Например, для случая четырех факторов, когда
факторы х1, х2 и х3 являются свободными, для
получения значений фактора х4 можем
использовать такие генерирующие соотношения:
Основы научных исследований
17

18.

1) x4 x1 x2 ;
2) x4 x1 x3 ;
3) x4 x2 x3 ;
4) x4 x1 x2 x3 ;
5) x4 x1 x2 ;
6) x4 x1 x3 ;
7) x4 x2 x3 ;
8) x4 x1 x2 x3 .
(5.11)
Выбор некоторого генерирующего соотношения
означает, что при проведении эксперимента мы
пренебрегаем эффектом взаимодействия
соответствующих факторов.
Так, выбрав вариант 4, мы исключим из анализа
эффект взаимодействия трех факторов х1, х2 и х3.
В таком случае матрица ДФЭ 24-1 будет иметь вид
Основы научных исследований
18

19.

Номер
опыта
x0
x1
1
2
3
4
5
6
7
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
Факторы
x2
x3
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
x4
+1
–1
–1
+1
–1
+1
+1
–1
Параметр
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
ДФЭ позволяет сократить число опытов, однако
теперь оценки коэффициентов не будут раздельными, как в ПФЭ
Оценка b4 будет смешана с оценкой b123, который мы
исключили из рассмотрения. Однако, смешанными
оказываются и другие коэффициенты.
Основы научных исследований
19

20.

Умножив генерирующее соотношение на фактор,
2
стоящий слева, получим
x4 x1 x2 x3 x4
или, учитывая, что x42 1
1 x1 x2 x3 x4
— определяющий контраст
— соотношение между факторами, определяющее
разрешающую способность матрицы.
Умножив левую и правую части определяющего
контраста на фактор xi, получим ответ, какой эффект
смешан. Например, для фактора x1
2
x1 x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 т.е. оценка
коэффициента b1
смешана с оценкой b234.
x2 x1 x3 x4
Аналогично получим
x3 x1 x2 x4
Основы научных исследований
20

21.

Смешанными оказываются и оценки коэффициентов
взаимодействия двух факторов
x1 x2 x12 x22 x3 x4 x3 x4
т.е. смешаны оценки коэффициентов b12 и b34
Разрешающая способность матрицы тем выше,
чем выше порядок генерирующего соотношения,
поскольку, например, эффект взаимодействия трех
факторов обычно меньше, чем двух, и пренебрежение этим эффектом приводит к меньшей ошибке
Основы научных исследований
21

22.

5. Планы второго порядка
Если описать процессы в объекте линейным
уравнением не удается, то переходят к планам
второго порядка.
Для получения коэффициентов регрессии варьирования факторами на двух уровнях недостаточно.
При небольшом количестве факторов можно
варьировать каждый фактор на трех уровнях —
верхнем, нижнем и нулевом — ПФЭ 3k.
Однако, переход к ПФЭ на трех уровнях связан с
постановкой большого числа опытов. Так, для
четырех факторов ПФЭ 34 требует 34 = 81 опыт, а
ПФЭ 35 — 243
Основы научных исследований
22

23.

Бокс и Уилсон обосновали возможность
использования схем, в которых план типа ПФЭ 2k,
используемый в качестве “ядра”, дополняется
“звездными” точками (по две на каждый фактор), а
также нулевой точкой в центре плана.
“Звездные” точки отстоят от
x2
центра плана на расстоянии α,
α 8
называемом “плечом”.
1
3
4
Оптимальная величина
“плеча” зависит от числа
5
6
9
свободных факторов
1
–α –1
α
1
–1
–α 7
2
x1
Общее количество опытов с
использованием «звездных»
точек составляет
n
2
2
k
1
Основы научных исследований
23
k

24.

Количество
факторов k
Количество
опытов ПФЭ 3k
2
3
4
5
4
5
9
27
81
243
81
243
Тип ядра
Количество опы- 4
тов «ядра» (2k)
Общее количество 9
опытов (2k+2k+1)
ПФЭ 2k
ДФЭ 2k-1
8
16
32
8
16
15
25
43
17
27
Величина «плеча» 1,414 1,682 2,000 2,378 1,682 2,000
Для k = 2 количество опытных точек ПФЭ 3k и с
использованием “звездных” точек одинаковы.
С увеличением числа факторов разница в числе
опытов ПФЭ и плана “звездных” точек становится
весьма существенной.
Наибольшая экономия количества опытов может
быть достигнута при
использовании
в
качестве
ядра
Основы научных исследований
24
дробного факторного
эксперимента.

25.

Номер
опыта
Звездные
точки
1
2
3
4
5
6
7
3
ПФЭ 2 8
9
10
11
12
13
14
Центр 15
плана
x0
Факторы
x1
x2
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1,682
1,682
0
0
0
0
0
x3
–1
–1
–1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
–1,682 0
1,682 0
0
–1,682
0
1,682
0
0
Основы научных исследований
Параметр
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
25