Похожие презентации:
Векторы в пространстве
1.
Векторы в пространствевход
2.
СодержаниеI.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Понятие вектора в пространстве
Коллинеарные векторы
Компланарные векторы
Действия с векторами
Разложение вектора
Базисные задачи
Проверь себя
Об авторе
Помощь в управлении презентацией
Выход
3.
Понятие вектора в пространствеВектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его
концов считается началом, а какой – концом.
В
А
AB
a
M
MM 0
Длина вектора AB – длина отрезка AB.
AB AB
0 0
4.
Коллинеарные векторыДва ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной
прямой или параллельных прямых.
Среди коллинеарных различают:
• Сонаправленные векторы
• Противоположно направленные векторы
5.
Сонаправленные векторыСонаправленные векторы - векторы, лежащие
по одну сторону от прямой, проходящей через их
начала.
a
a b
b
Нулевой вектор считается сонаправленным с
любым вектором.
• Равные векторы
6.
Равные векторыРавные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.
7.
Противоположно направленныевекторы
Противоположно направленные векторы –
векторы, лежащие по разные стороны от прямой,
проходящей через их начала.
a
a b
b
Противоположные векторы
8.
Противоположные векторыПротивоположные векторы – противоположно
направленные векторы, длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.
9.
Признак коллинеарностиЕсли существует такое число k при котором
выполняется равенство a k b и при том
вектор b 0, то векторы a и b коллинеарн ы.
Доказательство
10.
Доказательство признакаколлинеарности
Два вектора a и b коллинеарн ы тогда и
только тогда, когда имеет место равенство
a kb
вектор k a b, если k 0
( следует из определения
вектор k a b, если k 0
произведения вект ора на число)
Значит вектор b и k a коллинеарн ы,
т.к. сонаправленные и противоложно
направленные векторы лежат на одной
или параллельных прямых.
ч.т.д.
11.
Определение компланарныхвекторов
Компланарные векторы – векторы, при
откладывании которых от одной и той же точки
пространства, они будут лежать в одной
плоскости.
Пример:
B1
A1
C1
D1
B
А
C
D
BB1 , AC,AC 1 компланарн ы, т.к.
BB1 AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1
лежат в плоскости (AA1C)
12.
О компланарных векторахЛюбые два вектора всегда компланарны.
α
a
b
a
b
a
b
a и b компланарн ы
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
a, b и c
компланарн ы
если
a, b, c
a kb
13.
Признак компланарностиЕсли вектор c можно разложить по векторам
а и b, т.е. представить в виде
с xa yb
где х и у некоторые числа, то векторы a, b
и c компланарн ы.
Доказательство
Задачи
14.
Задачи на компланарность1)
2)
Компланарны ли векторы:
а) a, b, 2a, 3b;
б) a, b, a b, a b ?
Справка
Решение
Известно, что векторы a , b и c компланарны.
Компланарны ли векторы:
а) a, 2b, 3c;
б) a b, a 2c, 2b 3c ?
Справка
Решение
15.
Решениеа)векторы a и 2a коллинеарн ы,
векторы b и 3b коллинеарн ы,
значит векторы a, b, 2a и 3b компланарн ы
б )векторы a, b и a b компланарн ы,
векторы a, b и a b компланарн ы,
значит векторы a, b, a b и a b компланарн ы
16.
Решениеa) если векторы a , 2b , 3c компланарн ы,
то существуют такие х и у,что
a xb y c
проверяем существуют ли такие т и п,что
a m 2b n 3c
имеем :
x
2m x m
2
y
3n y n
3
m и п определяют ся единственным образом,
значит векторы компланарн ы
17.
Решениеб)если векторы a b , a 2c , 2b 3c
компланарн ы, то существуют такие х и у,что
a b x( a 2c ) y(2b 3c )
a b x a 2xc 2yb 3y c
a(1 x) b(1 2y) c( 2x 3y) 0
1 x 0 x 1
1
1 2y 0
y
3y 2x 0
2
1
a b a 2c (2b 3c )
2
искомые х и у существуют,
значит векторы компланарн ы
18.
Доказательство признакакомпланарности
B1 OC xOA yOB
С
с x a yb
c
B
b
x, y некоторые числа
A
Доказать :
A1
O
Дано :
a
a, b и с компланарны
Доказательство :
Пусть a и b не коллинеарны
О произвольная точка
OA a , OB b
OA ,OB ,OA1 ,OB1 (OAB)
OA1 x OA OB1 y OB
OC c OA1 OB1 x OA y OB
OA a ,OB b ,OC c лежат в одной плоскости
a ,b ,c компланарн ы ч.т.д
19.
Свойство компланарныхвекторов
Если векторы a, b и c компланарн ы, то один из них
можно выразить линейным образом через два других,
т.е. представить в виде :
с xa yb
причем коэффициен ты разложения
определяются единственным образом.
20.
Действия с векторамиСложение
Вычитание
Умножение вектора на число
Скалярное произведение
21.
Сложение векторовПравило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда
Свойства сложения
22.
Правило треугольникаДля сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А вектор
AB, равный а
2. от точки В отложить вектор BC , равный b
3. вектор AC называется суммой векторов a и b
B
a
a
b
А
b
a b
C
23.
Правило треугольникаB
a
А
b
a b
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
AB BC AC
24.
Правило параллелограммаДля сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от точки А отложить вектор AC, равный b
3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя
дополнительные линии параллельно данным
векторам
4. диагональ параллелограмма сумма векторов
B
a
a
b
А
с
b C
с a b
25.
Свойства сложенияДля любых векторов a , b и c справедливы
равенства :
a b b a
переместительный закон
a b с а b с сочетательный закон
26.
Правило многоугольникаСумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при
последовательном откладывании).
a
B
b
C
A
a b c d e
e
c
E
d
Пример
D
AB BC CD DE AE
27.
ПримерB1
A1
C1
D1
B
A
C
D
AA1 D1C1 A1 D BA CB 0
28.
Правило параллелепипедаВектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B
A1 1
C1
d
AB b
D1
с bB
C
А
a
AD a
D
AC1 AD AB AA1
AA1 c
AC1 d
29.
СвойстваB1
C1
A1
d
D1
с aB
А
C
b
D
d a b c для любого параллелепипеда
d 2 a 2 b 2 c 2 для прямоуголь ного
параллелепипеда
30.
Вычитание векторов• Вычитание
• Сложение с противоположным
31.
ВычитаниеРазностью векторов a и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором b равна
вектору a .
32.
ВычитаниеДля вычитания одного вектора из другого необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от этой же точки А отложить вектор AC,
равный b
3. вектор CB называется разностью векторов a и b
B
a
b
Правило трех точек
a
a b
A
b
C
33.
Правило трех точекЛюбой вектор можно представить как разность
двух векторов, проведенных из одной точки.
B
BK AK AB
А
BK
K
34.
Сложение с противоположнымРазность векторов a и b можно представить как
сумму вектора
вектору
.
иaвектора, противоположного
b
a b a b
a
B
b
a b
b
O
А
a
35.
Умножение вектора на числоПроизведением ненулевог о вектора a на число k
называется такой вектор b , длина которог о
равна к а , при чем векторы a и b сонаправле ны
при k 0 и противоположно направлены при k 0.
a
2a
b
1
b
3
36.
Свойства• Произведением нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
0 n 0
• Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
n 0 0
37.
СвойстваДля любыхвект оровa и b и любых
чисел k, l справедливы равенст ва:
(kl)a k(la )
сочет ат ельный закон
k( a b ) k a k b
1 ый распределит ельный
закон
(k l)a k a l a
2 ой распределит ельный
закон
38.
Скалярное произведениеСкалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
a b a b cos( a ; b )
Справедливые утверждения
Вычисление скалярного произведения в координатах
Свойства скалярного произведения
39.
Справедливые утверждения• скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны
a b 0 a 0 b 0 a b
• скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное
произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины
2
a
а
2
а
2
40.
Вычисление скалярногопроизведения в координатах
Скалярное произведение векторов a x1 ; y1 ; z1
и b x 2 ; y2 ; z 2 выражается формулой
a b x 1 x 2 y1 y 2 z 1 z 2
Доказательство
41.
Доказательство формулы скалярногопроизведения
Доказательство :
I . при a 0 или b 0, равенство
ab x1 x2 y 1 y2 z1 z 2 справедливо, т.к . 0 0;0;0
II . при a 0, b 0
О произвольная точка
B
b
OA a, OB b
если a и b неколлинеарны, то
α a
AB 2 OA 2 OB 2 2 OA OB cosα ( по т еоремOекосинусов)
A
это равенство верно и в том случае когда векторы
a и b коллинеарны
O
B
A
B
2
2
cosα 1, AB (OA OB)
2
2
OA OB 2OA OB
2
2
OA OB 2OA OBcosα
2
2
cosα 1, AB (OA OB)
2
2
OA OB 2OA OB
2
2
OA OB 2OA OBcosα
b O
a
A
42.
Доказательство формулы скалярногопроизведения
Так как AB b a , OA a , OB b , то
2
2
1 2
ab ( a b b a )
2
a x1 ; y1 ; z1 b x2 ; y2 ; z 2 b a x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1
2
2
a x y z , b x22 y22 z 22 ,
2
1
2
1
2
1
2
b a (x2 x1 )2 (y 2 y1 )2 (z 2 z1 )2
1
ab (x12 y12 z12 x22 y22 z 22 (x2 x1 )2 (y 2 y1 )2
2
1
(z 2 z1 )2 ) (x12 y12 z12 x22 y22 z22 x22 2x1 x2
2
x12 y22 2y1 y2 y12 z22 2z1 z 2 z12 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2
43.
Свойства скалярногопроизведения
Для любых векторов a , b и с и любого
числа k справедливы равенства :
10.
2
a 0 причем a 0 при a 0
20. a b ba (переместительный закон)
(распределительный
0
a
b
c
a
c
b
c
3.
закон)
40. k a b k a b (сочетательный закон)
44.
Разложение вектора• По двум неколлинеарным векторам
• По трем некомпланарным векторам
45.
Разложение вектора по двумнеколлинеарным векторам
Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
Доказательство
46.
Доказательство теоремыДано :
b
a, b неколлинеарные
векторы
Доказать :
p
a
P
B
aA
1)Пусть p коллинеарен b .
Тогда p yb , где y –
некоторое число.
Следовательно,
p
b
O
p x a yb
Доказательство :
A1
p 0 a y b
т.е. p разложен по
векторам a и b .
47.
Доказательство теоремы2) p не коллинеарен ни вектору a , ни вектору b .
Отметим О – произвольную точку.
OA a OB b OP p
PA BO PA OA A
1
1
1
p OA1 A1 P(пп правилу треугольника)
но : OA1 и A1 P коллинеарн ы a и b соответственно,
значит OA1 x a , A1 P yb ,
следовательно p x a yb , т.е. p разложен по a и b
ч.т.д.
48.
Доказательство теоремыДокажем, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом.
Допустим: p x1 a y1 b
Тогда: p x a y b z c
1
1
-
1
p x a yb z c
0 (x x1 )a (y y1 )b
x x1 0, y y1 0,
если бы x x1 0 то a
y y1
b
x x1
а значит a , и b коллинеарн ы, что
противоречит условию теоремы
значит x x1 0, y y1 0, откуда
x x1 и y y1 .
49.
Разложение вектора по тремнекомпланарным векторам
Если вектор p представлен в виде
p xa yb z c
где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
p разложен по векторам a , b и c .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
Доказательство
50.
Доказательство теоремыС
P
pB
с b P2 P1
O
aA
Доказательство :
О произвольн ая точка
Дано :
abc
некомпланр ные
векторы
p x a yb z c
OA a OB b OC c OP p
AP OC AP (AOB) P1 P2 P1 OB
OP OP2 P2 P1 P1 P
OP2 , и OA , PP1 и OB , P1 P , OC коллинеарн ы
OP2 x OA , P2 P1 y OB , P1 P z OC
OP x OA y OB z OC
p x a yb z c ч.т.д.
51.
Доказательство теоремыДокажем, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом.
Допустим: p x1 a y1 b z1 c
Тогда: p x a y b z c
1
p x a yb z c
1
-
1
0 (x x1 )a (y y1 )b (z z1 )c
x x1 0, y y1 0, z z1 0
x x1
y y1
если бы z z1 0 то с
a
b
z z1
z z1
а значит a , b , и с компланарн ы, что
противоречит условию теоремы
значит x x1 , y y1 , z z1
52.
Базисные задачиВектор, проведенный в середину отрезка
Вектор, проведенный в точку отрезка
Вектор, соединяющий середины двух отрезков
Вектор, проведенный в центроид треугольника
Вектор, проведенный в точку пересечения
диагоналей параллелограмма
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда
53.
Вектор, проведенный в серединуотрезка,
равен полусумме векторов, проведенных из той же
точки в его концы.
С
A
B
O
1
1
1
OC ( OA OB ) OA OB
2
2
2
Доказательство
54.
ДоказательствоС
A
B
O
Доказательство :
OC OA AC
OC OB BC
Дано :
AB отрезок
AC CB
Доказать :
1
OC ( OA OB )
2
2OC OA AC OB BC OA OB (
AC
BC
)
o
2OC OA OB 2
1
OC ( OA OB ) ч.т.д.
2
55.
Вектор, проведенный в точку отрезкаТочка С делит отрезок АВ в отношении т : п.
A
m
Сn
B
O
n
m
OC
OA
OB
m n
m n
Доказательство
56.
ДоказательствоA
m
Сn
O
Доказатель ство :
B
Дано :
AB отрезок
AC m
CB n
Доказать :
n
m
OC
OA
OB
m n
m n
OC OA AC
m
m
AC
AB
(OB OA)
m n
m n
m
m
OC OA
OB
OA
m n
m n
m
m
OA
OA
OB ч.т.д.
m n
m n
57.
Вектор, соединяющий середины двухотрезков,
равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
С
N
D
B
С
N
D
B
M
M
A
A
1
1
MN ( AD BC ) ( AC BD )
2
2
Доказательство
58.
ДоказательствоС
N
D
B
M
A
Доказатель ство :
MN MA AC CN
MN MB BD DN
2 MN AC BD
1
MN ( AC BD ) ч.т.д.
2
Дано :
AB; CD
BM AM
CN ND
Доказать :
1
MN ( AC BD )
2
59.
Вектор, проведенный в центроидтреугольника,
равен одной трети суммы векторов, проведенных из
этой точки в вершины треугольника.
Центроид – точка пересечения медиан
треугольника.
O
С
A
M
B
1
OM ( OA OB OC )
3
Доказательство
60.
ДоказательствоO
С
A
M
K
B
Дано :
ΔABC
M центроид
Доказать :
1
OM ( OA OB OC )
3
Доказательство :
1
2
OM OA OK
3
3
1
2 1
OA ( ( OC OB ))
3
3 2
1
1
1
1
OA OB OC ( OA OB OC ) ч.т.д.
3
3
3
3
61.
Вектор, проведенный в точку пересечениядиагоналей параллелограмма,
равен одной четверти суммы векторов, проведенных
из этой точки в вершины параллелограмма.
O
C
B
M
A
D
1
OM ( OA OB OC OD )
4
Доказательство
62.
ДоказательствоO
B
C
M
Дано :
ABCD пар м
BD AC M
Доказать :
1
OM ( OA OB OC OD )
4
A
D
1
OM ( OA OC )
2
1
OM ( OB OD )
2
1
1
1
1
2OM OA OB OC OD
2
2
2
2
1
1
1
1
OM OA OB OC OD
4
4
4
4
1
( OA OB OC OD ) ÷.ò.ä.
4
63.
Вектор, лежащий на диагоналипараллелепипеда,
равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах,
исходящих из одной вершины.
B1
C1
A1
a
A
d
D1
B
C
b
с
D
d a b c
Доказательство
64.
ДоказательствоB1
C1
A1
a
A
d
AA1 a
D1
B
C
b
D
с
Доказательство :
AC1 AA1 AB1 BC1
AA1 AB AD
a b c ч.т.д.
Дано :
ABCDA1B1C1D1 пар м
AB b
AD c
AC1 d
Доказать :
d a b c
65.
Помощь в управлениипрезентацией
• управление презентацией осуществляется с
помощью левой клавиши мыши
• переход от одного слайда к другому и на
гиперссылки по одиночному щелчку
• завершение презентации при нажатии кнопки
выход
переход к следующему слайду
возврат к содержанию
возврат к подтеме
возврат с гиперссылок
66.
Проверь себя• Устные вопросы
• Задача 1. Задача на доказательство
• Задача 2. Разложение векторов
• Задача 3. Сложение и вычитание векторов
• Задача 4. Скалярное произведение
67.
Устные вопросыСправедливо ли утверждение:
а) любые два противоположно направленных
вектора коллинеарны?
б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?
в) любые два равных вектора коллинеарны?
г) любые два сонаправленных вектора равны?
д) если a b, b c, то a c ?
е) существуют векторы a , b и c такие, что a
и c не коллинеарны, b и c не коллинеарны, а a
и b коллинеарны?
Ответы
68.
Ответыа) ДА
б) НЕТ (могут быть и противоположно
направленными)
в) ДА
г) НЕТ (могут иметь разную длину)
д) ДА
е) ДА
69.
Задача 1. Задача на доказательствоB1
C1
A1
B M1
А
Решение
M2
D1
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1 пар д
М 1 , М 2 точки пересечения
медиан ΔА1 ВD и ΔD1CB1
соответственно
Доказать :
AM 1 M 1 M 2 M 2 C1
70.
РешениеB1
C1
A1
B M1
M2
D1
C
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1 пар д
М 1 , М 2 точки пересечения
медиан ΔА1 ВD и ΔD1CB1
соответственно
Доказать :
AM 1 M 1 M 2 M 2 C1
А
D
Доказательство :
Рассм. тетраэдр AA1 BD
M 1 центроид ΔA1 M 1 B
1
AM 1 ( AA1 AB AD )
3
AC1 AA1 AB AD по правилу пар да
1
AM 1 AC1
3
1
M AC1 AM 1 AC1
3
1
аналогично M 2 AC1 C1 M 2 AC1
3
следовательно AM 1 M 1 M 2 M 2 C1 ч.т.д.
71.
Задача 2. Разложение векторовРазложите вектор по a, b и c :
D
N точка пересечения
медиан ABC
a
A
b
N
c
а) DB
б) CB
в) DC
г) DN
Решение
B
C
72.
Решениеа) DB b a
б) CB b c
в) DC c a
г) DN a 1 AN a 1 ( 1 ( b c ))
3
1
1
a b c
6
6
3 2
73.
Задача 3. Сложение и вычитаниеУпростите выражения:
а) CM MK
б) DM MA
в) SD ST
г) PL PK
д) AC BC PM AP BM
е) AD MP EK EP MD
Решение
74.
Решениеа) CM MK CK
б) DM MA DA
в) SD ST TD
г) PL PK KL
д) AC BC PM AP BM
AC CB MP PA BM
AB MA BM AM MA 0
е) AD MP EK EP MD
AD DM MP PE EK
AK
75.
Задача 4. Скалярное произведениеВычислить скалярное произведение векторов:
C1
B1
A1
D1
a
B
A
а) AD B1C1
б) AC C 1 A1
в)D1 B AC
г)BA1 BC 1
Решение
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1 куб
AB a
76.
Задача 4. Скалярное произведениеВычислить скалярное произведение векторов:
B1
C1
O1
A1
D1
a
B
A
д) A1O1 A1 C1
е)DO1 B1O1
ж)BO1 C1 B
Решение
C
D
Дано :
ABCDA1 B1C1 D1 куб
AB a
A1C1 B1 D1 O1
77.
Решение2
а) AD B1C1 AD AD 2 a 2
б)AC диагональ квадрата
AC A1C1 C1 A1
AC C 1 A1 AC ( A1C1 ) AC A1C1 (a 2 )2 2a 2
в)D1 B диагональ куба
D1 B a 2 (a 2 )2 3a(п( т.Пифагора из ΔDD1 B)
2
a3 3
D1 B AC 3a 2 a 2 cos45 a 3 6
2
г)BA1 , BC 1 диагонали квадратов
ΔA1 BC 1 равносторонний, A1 BC 1 60
1 2a 2
a2
BA1 BC 1 a 2 a 2
2
2
78.
Решениед)A1O1 половина диагонали квадрата
A1C1 диагональ квадрата
O1 A1C1 0
a 2
A1O1 A1 C1
a 2 cos0 a 2
2
е)D1O1 , B1O 1 половины диагонали квадрата
a 2 a 2
a2
D1O1 B1O1 D1O1 ( O1 B1 )
2
2
2
79.
Решениеж)I способ решение по определению : B1
C1
O1
a 2 2 a 6
A1
BO1 a 2 (
)
D1
2
2
C1 B диагональ квадрата
c
B
1
1
C
b a
O1 BC 1 A1 BC 1 60 30
2
2
A
a 6
3 2 D
BO1 C1 B BO1 ( BC 1 )
a 2 cos30 a
2
2
II способ разложение по базису :
1
1
BO1 a b c
2
2
C1 B b a
2
1
1
BO1 C1 B ( a b c ) ( a b ) ( a ab
2
2
2
1
1
1
1 2
1 2
3
ac bc ab b ) ( a a ) a 2
2
2
2
2
2
2
80.
Об автореПрезентация выполнена
ученицей 11 «Б» класса средней
школы №316 Фрунзенского
района с углубленным изучением
английского языка Силичевой
Алисой.
Огромная благодарность
выражается руководителю
проекта Подольской Анастасии
Васильевне.