Вычислительная математика. Практикум №3

1. Практикум №3 Вычислительная математика

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Практикум №3
Вычислительная математика
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНТ, к.ф.-м.н.
[email protected]
04.10.2023

2. Содержание

Вычисление норм векторов и матриц
Оценка собственного числа
Построени кругов Гершгорина
Вычисление невязки
Вычисление элемнтарных матриц и преобразований
с их применением

3. Вычисление норм векторов и матриц

1. Вычислите x 1 , x 2 и x вектора
,
2. Вычислите A 1 и A матрицы

4. Оценка собственного числа

3. Используя
A 1 и A , оцените
max для матрицы
Какая норма даёт лучшую оценку ?

5. Теорема Гершгорина

4. Верно ли утверждение, что матрица имеющая нулевое собственное значение
вырожденна, а значит её определитель равен нулю ?
5. Какие из трёх матриц заведомо невырождены ?
Указание.
Примените теоремуГершгорина для исходной и транспонированнойматрицы.
Постройте круги Гершгорина для обоих случаев.

6. Вычисление невязки и числа обусловленности

6. Для системы уравнений Ax b вычислите невязку , если
если известно приближённое решение.
,
,

7. Матрица перестановки

7. Для матрицы A напишите матрицу перестановки Р второй и
четвёртой строк. Чем будет отличаться матрица РА от АP ?
,
,

8. Матрица исключения

8. Для матрицы A напишите матрицу исключения Э, обнуляющую в
первом столбце все элементы, начиная со второго.
Вычислите произведение ЭА. Вычисления провести в простых дробях.
,
,

9. Матрица Хаухолдера (отражения)

9. Для матрицы A напишите матрицу Хаусхолдера Н , обнуляющую в
первом столбце все элементы, начиная со второго.
Вычислите произведение НА. Вычисления провести в простых дробях
с использованием радикалов. При вычислении матриц H используйте знак .
,
,

10. Матрицы Гивенса (вращения)

10. Для матрицы A напишите цепочку матриц Гивенса,
обнуляющую в первом столбце все элементы, начиная со второго.
В формулах для матриц Гивенса используйте знак .
Вычислите произведение последовательности матриц
Гивенса и произведение этой матрицы на матрицу А.
Вычисления провести в простых дробях с исполизованием радикалов.
,
,
11. Являются ли матрицы, обнуляющие элементы первого
столбца из задачи 10 и задачи 11, одинаковыми ?

11. Общие указания

,
,
1. В каждом пункте надо написать формулы, которые будут
использованы для вычислений.
2. Вычисления провести в простых дробях с исполизованием радикалов.
Дроби оставлять неприведёнными. Десятичные дроби не использовать.
3. Работу прислать в виде pdf файла на адрес
voskoboynikov @ mail.ru
В теме письма указать номер группы.