Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. Модуль «Алгебра». Математика. 9 класс. Вариант МА90103

1.

Математика. 9 класс. Вариант МА90103
1
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Модуль «Алгебра»
21
n
18
Сократите дробь 2 n 1 n 2 .
2
3
Решение.
Преобразуем выражение:
n
Ответ: 12.
2n
2
2 3
2
3 12 .
2 n 1
n 2
3
2
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Обоснованно получен верный ответ
Решение доведено до конца, но допущена описка или ошибка
1
вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги
выполнены верно
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл
22
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет
заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий,
выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Решение.
Пусть второй рабочий делает за час x деталей, тогда первый рабочий делает
за час x 5 деталей. Получаем уравнение:
2
2
180 180
3 ; 180 x 900 180 x 3 x 15 x ; x 5 x 300 0 ,
x
x 5
откуда x 15 .
Ответ: 15.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
1
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена
описка или ошибка вычислительного характера
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

2.

Математика. 9 класс. Вариант МА90103
23
2
x
y
2
4 x 1
и определите, при каких
1 x
значениях k прямая y kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Постройте график функции
Решение.
x
Преобразуем выражение:
2
Построим график:
4 x 1
1 x
x 2 4 при условии, что x 1 .
y
0 1
–1
x
Прямая y kx имеет с графиком ровно одну общую точку, если она
проходит через точку 1; 5 или если уравнение x 2 4 kx имеет один
корень. Дискриминант уравнения x 2 kx 4 0 равен k 2 16 , и он должен
быть равен нулю. Получаем, что k 5 , k 4 и k 4 .
Ответ: 5 ; 4 ; 4.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
1
График построен верно, но искомые значения параметра найдены
неверно или не найдены
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

3.

Математика. 9 класс. Вариант МА90103
3
Модуль «Геометрия»
24
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого
угла B треугольника ABC к гипотенузе AC . Найдите AB , если AH 5 ,
AC 20 .
Решение.
B
A
H
C
Поскольку BH — высота треугольника ABC , прямоугольные треугольники
ABC и AHB подобны.
AB AH
Следовательно,
, откуда AB AC AH 10 .
AC AB
Ответ: 10.
Баллы
2
1
0
2
Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен
верный ответ
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны
неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

4.

Математика. 9 класс. Вариант МА90103
25
4
Высоты AA1 и BB 1 остроугольного треугольника ABC пересекаются
в точке E . Докажите, что углы AA1 B 1 и ABB 1 равны.
Доказательство.
B
A1
E
A
B1
C
Поскольку диагонали четырёхугольника AB 1 A1 B пересекаются, он является
выпуклым, а так как AB 1 B = AA1 B = 90 , около него можно описать
окружность. Тогда углы AA1 B 1 и ABB 1 равны как вписанные, опирающиеся
на одну дугу AB 1 .
Баллы
2
1
0
2
Критерии оценки выполнения задания
Доказательство верное, все шаги обоснованы
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

5.

Математика. 9 класс. Вариант МА90103
26
5
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и
имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC .
Решение.
K
B
D
P
A
E
C
Пусть P — точка пересечения отрезков BE и AD (см. рисунок). Треугольник ABD равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой.
Поэтому
AP PD 48 ; BC 2 BD 2 AB .
По свойству биссектрисы треугольника
CE BC
2 , откуда AC 3 AE .
AE AB
Проведём через вершину B прямую, параллельную AC . Пусть K — точка
пересечения этой прямой с продолжением медианы AD . Тогда
BK AC 3 AE .
Из подобия треугольников APE и KPB следует, что
PE AE 1
.
BP BK 3
Поэтому PE 24 и BP 72 . Следовательно,
AB
2
2
AP BP 24 13 ; BC 2 AB 48 13 ;
2
2
AE AP EP 24 5 ; AC 3 AE 72 5 .
Ответ: 24 13 ; 48 13 ; 72 5 .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
1
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена
описка или ошибка вычислительного характера
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

6.

Математика. 9 класс. Вариант МА90104
1
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Модуль «Алгебра»
21
2
Решите неравенство ( x 1)
2 x 1 .
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
x 1 x 1 2 0 ,
откуда 1 x 1 2 .
Ответ: (1;1 2 ) .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Обоснованно получен верный ответ
Решение доведено до конца, но допущена описка или ошибка
1
вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги
выполнены верно
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл
22
Игорь и Паша красят забор за 20 часов. Паша и Володя красят этот же забор
за 24 часа, а Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько минут мальчики
покрасят забор, работая втроём?
Решение.
Заметим, что за час Игорь и Паша красят
1
забора, Паша и Володя красят
20
1
1
забора.
забора, а Володя и Игорь —
30
24
Значит, втроём за минуту они красят
1
1
1
20 24 30 1 (забора),
2 60
960
то есть они покрасят весь забор за 960 минут.
Ответ: 960.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
1
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена
описка или ошибка вычислительного характера
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

7.

Математика. 9 класс. Вариант МА90104
23
2
Постройте график функции
2
x 4 x 4, если x 4,
y 16
x , если x 4,
и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком одну
или две общие точки.
Решение.
Построим график функции
y
16
x
при
x 4
и график функции
y x 2 4 x 4 при x 4 .
y
1
–4
0
x
Прямая y m имеет с графиком одну или две общие точки при m 0 и при
m 4.
Ответ: 0; 4; .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
1
График построен верно, но искомые значения параметра найдены
неверно или не найдены
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

8.

Математика. 9 класс. Вариант МА90104
3
Модуль «Геометрия»
24
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого
угла B треугольника ABC к гипотенузе AC . Найдите AB , если AH 10 ,
AC 40 .
Решение.
B
A
H
C
Поскольку BH — высота треугольника ABC , прямоугольные треугольники
ABC и AHB подобны.
AB AH
Следовательно,
, откуда AB AC AH 20 .
AC AB
Ответ: 20.
Баллы
2
1
0
2
Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен
верный ответ
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны
неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

9.

Математика. 9 класс. Вариант МА90104
25
4
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите,
что углы DAC и DBC также равны.
Доказательство.
B
C
A
D
Поскольку ABCD выпуклый и ABD ACD , получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. А тогда DAC = DBC
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CD .
Баллы
2
1
0
2
Критерии оценки выполнения задания
Доказательство верное, все шаги обоснованы
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена

10.

Математика. 9 класс. Вариант МА90104
26
5
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB 25 и CD 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём AKB 60 .
Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение.
B
A
M
K
C
D
Через точку B проведём хорду BM , параллельную диагонали AC (см.
рисунок). Тогда
CM AB 25 ; DBM AKB 60 .
Поскольку четырёхугольник BMCD вписанный, получаем
DCM 180 DBM 180 60 120 .
По теореме косинусов
DM CM 2 CD 2 2CM CD cos DCM 1281 .
Пусть радиус окружности равен R . Используя теорему синусов, получаем
DM
1281
R
427 .
2sin DBM
3
Ответ: 427 .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
1
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена
описка или ошибка вычислительного характера
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл
© СтатГрад 2015−2016 уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена