Уравнение теплового баланса

1.

Глава Х.2
Уравнение теплового баланса

2.

Методы решения задач
1. Для приготовления ванны вместимостью V = 150 л
смешали холодную воду при to1 = 20оС с горячей при to2 = 80oC. Какие
объёмы той и другой воды надо взять, чтобы температура воды
стала равной to = 45oC?
Решение. Определим направление теплообмена в системе
вода
отдаёт
тепло;
"холодная вода + горячая вода": горячая
холодная вода получает тепло.
Q1 =
m1c( t o t 1o ) V1c( t o t 1o ) количество теплоты, получен-
ное холодной водой.
Q2 =
m 2 c( t о2 t о ) V2 c( t о2 t о ) количество
теплоты, отдан-
ное горячей водой.
В соответствии с уравнением теплового баланса (всеми
потерями энергии пренебрегаем): Q1 = Q2.
Раскроем полученное равенство:
V1c( t o t 1o ) V2 c( t о2 t о ).

3.

Отсюда
V1 ( t t ) V2 ( t t );
o
o
1
о
2
о
о
о
V1
t
t
2
.
o
o
V2
t t1
Учтём, что общий объём воды равен сумме объёмов холодной
и горячей воды: V = V1 + V2; V1 = V – V2.
Тогда
V V2 t о2 t о 80 o C 45 o C 7
5
o o o
V2
V 62,5 л .
o
V2
t t 1 45 C 20 C 5
12
5
7
V1 V V2 V V V 87,5 л.
12
12
Итак, для приготовления ванны необходимо использовать
87,5 л холодной воды и 62,5 л горячей воды.
2. Смешали V1 = 5 л воды при температуре to1 = 50oC и V2 =
= 7 л воды при температуре to2 = 20oC. Какова будет температура смеси в состоянии теплового равновесия?

4.

Решение. Определим направление теплообмена в системе
вода
отдаёт
тепло;
"холодная вода + горячая вода": горячая
холодная вода получает тепло.
Q1 =
m1c( t o t 1o ) V1c( t o t 1o ) количество теплоты, получен-
ное холодной водой.
Q2 =
m 2 c( t о2 t о ) V2 c( t о2 t о ) количество
теплоты, отдан-
ное горячей водой.
В соответствии с уравнением теплового баланса (всеми
потерями энергии пренебрегаем): Q1 = Q2.
Раскроем полученное равенство:
V1c( t o t 1o ) V2 c( t о2 t о ).
Отсюда
V1 ( t o t 1o ) V2 ( t о2 t о );
V1 t o V1 t 1o V2 t о2 V2 t о ;
V1 t 1o V2 t о2
V1 V2 t V t V t ; t
32,5 о С темпераV1 V2
o
o
1 1
о
2 2
o
тура смеси в состоянии теплового равновесия.

5.

3. В сосуд, содержащий воду массой m1 = 200 г при температуре to1 = 20oC, опустили медное тело массой m2 = 100 г, имеющее температуру to2 = 120oC. Какая общая температура
установится
в сосуде? Нагреванием сосуда пренебречь.
Удельные теплоёмкости воды и меди равны соответственно с1
= 4200 Дж/(кг·1оС), с2 = 380 Дж/(кг·1оС).
Решение. Определим направление теплообмена в системе
"холодная вода + горячее медное тело": медное тело отдаёт тепло;
холодная вода получает тепло.
Q1 =
водой.
Q2 =
m1c1 (t o t 1o ) количество теплоты, полученное холодной
m 2 c 2 ( t о2 t о ) количество
теплоты, отданное горячим
медным телом.
В соответствии с уравнением теплового баланса (всеми
потерями энергии пренебрегаем): Q1 = Q2.
Раскроем полученное равенство:
m1c1 ( t o t 1o ) m 2 c 2 ( t о2 t о ).

6.

Отсюда
m1c1 t o m1c1 t 1o m 2 c 2 t o2 m 2 c 2 t o ;
(m1c1 m 2 c 2 ) t o m1c1 t 1o m 2 c 2 t o2 ;
m1c1 t 1o m 2 c 2 t o2
o
о
t
24
,
3
С установившаяся температура.
o
m 1 c1 m 2 c 2
4. В калориметр с теплоёмкостью С = 90 Дж/К было налито
m1 = 300 г масла при to1 = 15oC. После опускания в масло
стального тела массой m2 = 400 г при to2 = 130оС установилась
температура to = 40оС. Какова, по данным опыта, удельная
теплоёмкость с1 масла, если удельная теплоёмкость стали с2 =
= 460 Дж/(кг·К)? Потерями энергии пренебречь.
Решение. Определим направление теплообмена в системе
"масло + стальное тело + калориметр": стальное тело отдаёт тепло;
масло и калориметр получают тепло.
Q1 =
m1c1 (t o t 1o ) количество теплоты, полученное маслом.
Q2 =
С( t о t 1о ) количество теплоты, полученное калоримет-
ром.

7.

Q3 =
телом.
m 2 c 2 ( t о2 t о ) количество
теплоты, отданное стальным
В соответствии с уравнением теплового баланса (всеми
потерями энергии пренебрегаем): Q1 + Q2 = Q3.
Раскроем полученное равенство:
m1c1 ( t o t 1o ) С(t o t 1o ) m 2 c 2 ( t о2 t о ).
Отсюда
(m1c1 С)( t о t 1о ) m 2 c 2 ( t o2 t o );
t o2 t o
m 1 c1 С m 2 c 2 о о ;
t t1
t o2 t o
m1c1 m 2 c 2 о о С;
t t1
m 2 t o2 t o
С
Дж
о о c2
1908
удельная теплоёмкость
c1
m1 t t 1
m1
кг К
масла.

8.

5. В сосуде находится вода при температуре to1 =
= 20оС. В воду помещают тело, имеющее температуру to2 =
= 110oC. В сосуде установилась температура to3 = 55oC. Какой
станет температура воды to4, если, не вынимая первое тело, в
неё опустить второе такое же тело, нагретое до 110оС?
Потерями энергии пренебречь.
Решение. Пусть m1 – масса воды в сосуде, c1 – удельная
теплоёмкость воды, m2 – масса одного тела, c2 – удельная
теплоёмкость материала тела.
Определим направление теплообмена в системе "вода +
первое тело": тело отдаёт тепло; вода получает тепло.
Q1 =
Q2 =
m 2 c 2 ( t о2 t 3o ) количество теплоты, отданное телом.
m1c1 ( t 3о t 1о ) количество теплоты, полученное водой.
В соответствии с уравнением теплового баланса (всеми
потерями энергии пренебрегаем): Q1 = Q2.
Раскроем полученное равенство:
m 2 c 2 ( t о2 t 3o ) m1c1 ( t 3о t 1о ).

9.

Отсюда
t 3o t 1o
7
m
c
m1c1 теплоёмкость тела.
m2c 2 1 1 o o
t 2 t 3 11
Определим направление теплообмена в системе "вода +
+
первое тело + второе тело": второе тело отдаёт тепло; первое
тело и вода получают тепло.
Q3 =
телом.
m 2 c 2 ( t о2 t o4 ) количество
теплоты, отданное вторым
Q4 =
m1c1 ( t о4 t 3о ) количество теплоты, полученное водой.
Q5 =
m 2 c 2 ( t о4 t 3о ) количество
телом.
теплоты, полученное первым
В соответствии с уравнением теплового баланса (всеми
потерями энергии пренебрегаем):
Q3 = Q4 + Q5.
Раскроем полученное равенство:
m 2 c 2 ( t о2 t o4 ) m1c1 ( t о4 t 3o ) m 2 c 2 ( t о4 t 3о ).

10.

Отсюда
m 2 c 2 ( t о2 t о4 ) ( t о4 t 3о ) m1c1 ( t о4 t 3о ).
m 2 c 2 t о2 2t о4 t 3о ) m1c1 ( t о4 t 3о ).
Используем соотношение
Тогда
7
m 1c1 .
m2c 2
11
7
m1c1 t о2 2t о4 t 3о m1c1 ( t о4 t 3о ).
11
7 о
t 2 2t о4 t 3о t о4 t 3о .
11
7 t о2 14t о4 7 t 3о 11t о4 11t 3о ; 25t о4 7 t о2 18t 3о ;
7 t о2 18t 3о
t
70,4 о С.
25
о
4

11.

6. Смесь из свинцовых и алюминиевых опилок с общей массой
m = 150 г и температурой to1 = 100оС погружена в калориметр с
водой, температура которой to2 = 15oC, а масса m3 = 230 г.
Окончательная температура установилась Өо = 20оС. Теплоёмкость калориметра С = 42 Дж/К, удельная теплоёмкость свинца
с1 = 130 Дж/(кг·К), алюминия с2 = 880 Дж/(кг·К). Сколько свинца и
алюминия было в смеси?
Решение. Определим направление теплообмена в системе
"калориметр + вода + смесь опилок": опилки отдают тепло; вода и
калориметр получают тепло.
o
о
Q1 = m1c1 ( t 1 ) количество теплоты, отданное свинцовыми
опилками (m1 – масса свинцовых опилок).
Q2 =
m 2 c 2 ( t 1о о ) количество теплоты, отданное алюминие-
выми опилками (m2 – масса алюминиевых опилок).
Q3 =
Q4 =
ром.
m 3 c 3 ( о t о2 ) количество теплоты, полученное водой.
С( о t о2 ) количество теплоты, полученное калоримет-

12.

В соответствии с уравнением теплового баланса (всеми
потерями энергии пренебрегаем): Q1 + Q2 = Q3 + Q4.
Раскроем полученное равенство:
о
о
о
о
m
c
(
t
)
С
(
t
m1c1 (t ) m 2 c 2 (t ) 3 3
2
2)
о
1
Отсюда
о
о
1
о
m1c1 m 2 c 2 (t1о о ) m 3 c 3 С ( о t о2 )
о t о2
m 3 c 3 С .
m1c1 m 2 c 2 o
o
t1
m = m1 + m2 – по условию. Тогда m2 = m – m1.
о t о2
m 3 c 3 С
m1c1 mc 2 m1c 2 mc 2 m1 (c 2 c1 ) o
o
t1
о t о2
m 3 c 3 С
m1 (c 2 c1 ) mc 2 o
o
t1
c2
о t о2
m 3c 3 С 0,092 кг 92 г.
m o
m1
o
c 2 c1
t1 c 2 c1

13.

m2 = m – m1 = 150 г – 92 г = 58 г.
Итак, m1 = 92 г – масса свинцовых опилок; m2 = 58 г – масса
алюминиевых опилок.
7. В стакане содержится V = 250 см3 воды. Опущенный в
стакан термометр показал to2 = 78оС. Какова действительная
температура воды, если теплоёмкость термометра С = 20 Дж/К,
а до опускания в воду он показывал to1 = 20oC.
Решение. Определим направление теплообмена в системе
"термометр + вода": вода отдаёт тепло; термометр получает тепло.
Q1 =
mc ( t 3o t o2 ) Vc ( t 3o t o2 ) количество теплоты, отданное
водой (m – масса воды, ρ – её плотность, to3 – действительная
температура воды).
ром.
Q2 =
С( t о2 t 1o ) количество
теплоты, полученное термомет-
В соответствии с уравнением теплового баланса (всеми
потерями энергии пренебрегаем): Q1 = Q2.
Раскроем полученное равенство:
Vc ( t 3о t o2 ) C( t о2 t 1o ).

14.

Отсюда
С o o
С o o
t t
t 2 t 1 ; t 3o t o2
t 2 t 1 79,1о С действитель cV
cV
o
3
o
2
ная температура воды.
8. Каков КПД газовой горелки, если на нагревание чайника с
V1 = 3 л воды от to1 = 20оС до кипения (to2 = 100оС) было
израсходовано V2 = 30 л газа? Теплоёмкость чайника С = 150 Дж/К,
удельная теплота сгорания газа ΔЕ/ΔV = 36 МДж/м3.
Решение. Определим направление теплообмена в системе
"сгорающий газ + вода + чайник": газ отдаёт тепло; вода и чайник
получают тепло.
Q1 =
qV2 количество теплоты, отданное сгоревшим газом (q =
= ΔE/ΔV – удельная теплота сгорания газа, V2 – объём газа).
Q2 =
V1c( t о2 t 1о ) количество теплоты, полученное водой.
Q3 =
С( t о2 t 1о ) количество теплоты, полученное чайником.

15.

По условию задачи не всё тепло, выделенное при сгорании газа,
идёт на нагревание воды и чайника: Qпол. = ηQ1 = ηqV2, где Qпол. –
"полезное" количество теплоты, т.е. количество теплоты,
непосредственно затраченное на нагревание воды и чайника, η – КПД
газовой горелки.
В соответствии с уравнением теплового баланса :
Qпол. = Q2 + Q3.
Раскроем полученное равенство:
E
V2 V1c( t o2 t 1o ) С( t o2 t 1o ) V1c С t o2 t 1o .
V
Отсюда
ки.
V1c С t o2 t 1o 94,4 10 2
E
V2
V
94,4% КПД газовой горел-

16.

9. Бытовой газовый водонагреватель проточного типа имеет
полезную мощность Рпол.= 21 кВт и КПД η = 80%. Каков расход газа
V1 при заполнении ванны объёмом V2 = 150 л водой, нагретой на Δto
= 40оС? Какое время для этого потребуется? Удельная теплота
сгорания газа ΔЕ/ΔV = 36 МДж/м3.
Решение. Определим направление теплообмена в системе
"сгорающий газ + вода": газ отдаёт тепло; вода получает тепло.
Q1 =
qV1 количество теплоты, отданное сгоревшим газом (q =
= ΔE/ΔV – удельная теплота сгорания газа, V1 – объём газа).
Q2 = V2 c t
o
количество теплоты, полученное водой.
По условию задачи не всё тепло, выделенное при сгорании газа,
идёт на нагревание воды: Qпол. = ηQ1 =ηqV1, где Qпол. –
"полезное"
количество теплоты, т.е. количество теплоты, непосредственно
затраченное на нагревание воды, η – КПД газовой горелки.
В соответствии с уравнением теплового баланса :
Qпол. = Q2.

17.

Раскроем полученное равенство:
Отсюда
E
V1 V2 c t o .
V
V2 c t o
V1
0,875 м 3 875 л расход газа.
E
V
Выразим Qпол. через полезную мощность водонагревателя:
Qпол. = Рпол.t, где t – время работы нагревателя.
Тогда уравнение теплового баланса принимает вид:
Р пол. t V2 c t o .
Отсюда
V2 c t o
t
1200 с 20 мин время работы нагревателя.
Pпол.

18.

10. Какое нужно количество теплоты, чтобы m = 100 г воды
при to1 = 15oC довести до кипения и Δm = 20 г её испарить?
Удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·1oC), удельная
теплота её парообразования L = 2,26·106 Дж/кг.
Решение. Процесс в данной системе состоит из двух процессов:
1) нагрев всей воды массой m от температуры to1 = 15oC до to2 =
= 100oC (температуры кипения воды) и 2) парообразование
воды
массой Δm при температуре кипения.
Запишем выражения для расчёта количеств теплоты Q1 и Q2,
которые необходимо сообщить воде на каждом этапе процесса:
Q1 mc (t o2 t 1o ); Q 2 mL.
Общее количество теплоты, которое необходимо затратить для
осуществления всего процесса в системе, равно:
Q Q1 Q 2 mc ( t o2 t 1o ) mL 80,9 кДж .

19.

11. В сосуд, содержащий m1 = 2 кг воды при температуре to1 =
= 20oC , впустили m2 = 150 г водяного пара при температуре to2 =
= 100oC. Какая температура to3 установится в сосуде в состоянии
теплового равновесия? Удельная теплоёмкость воды с = 4200
Дж/(кг·К), удельная теплота её парообразования L = 2,26·106 Дж/кг.
Решение. Процесс теплообмена в системе будет протекать
следующим образом: пар отдаёт тепло воде; вода получает тепло.
Пар отдаёт тепло воде в сосуде в два этапа: 1)
в
процессе
конденсации при температуре tо2 = 100oC и 2) при охлаждении
полученной из пара воды от tо2 = 100oC до to3.
Запишем выражения для расчёта количеств теплоты, которые
отдаёт пар и принимает вода в сосуде:
o
o
Q1 = m 2 L m 2 c( t 2 t 3 ) количество теплоты, отданное паром.
Q2 =
m1c( t 3o t 1o ) количество теплоты, полученное водой.
В соответствии с уравнением теплового баланса: Q1 = Q2.
Раскроем уравнение теплового баланса.
m 2 L m 2 c( t o2 t 3o ) m 1c( t 3o t 1o ).

20.

После раскрытия скобок в левой и правой части равенства
получим
o
o
o
o
m 2 L m 2 ct 2 m 2 ct 3 m1ct 3 m1ct 1 .
m 2 L m 2 t o2 m1 t 1o с m1 m 2 ct 3o .
Отсюда
o
o
m
L
m
t
m
t
1 1
2 2 c
63,8 о С.
t 3o 2
c m1 m 2
12. Для приближённого определения удельной теплоты
парообразования воды ученик проделал следующий опыт. На
электроплитке он нагрел воду, причём оказалось, что на
нагревание её от to1 = 20oC до to2 = 90oC потребовалось t1 = 15
минут, а для обращения 0,1 её массы в пар – t2 = 11,7 минут. Какова
удельная
теплота
парообразования
воды
по
данным
эксперимента? Удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·К).
Тепловую мощность электроплитки считать неизменной.
Решение. Запишем выражение для количества теплоты,
полученного от электроплитки при нагревании воды от 20 до 90оС:

21.

Q1 = Pt1 = mc(to2 – to1), где Р – мощность электроплитки, m –
масса воды.
Запишем выражение для количества теплоты, полученного от
электроплитки при парообразовании:
Q2 = Pt2 = 0,1mL, где L – удельная
воды.
теплота
парообразования
Разделим друг на друга левые и правые части соответственно
двух полученных выражений:
Pt 1
mc ( t o2 t 1o )
.
Pt 2
0,1mL
Отсюда
t 1 c( t o2 t 1o )
c( t o2 t 1o ) t 2
Дж
2,3 10 6
.
L
t2
0,1
t1
кг
0,1L

22.

13. В стальной сосуд массой m1 = 200 г налили V = 1,2 л воды
при to1 = 20оС. В воду опустили кусок мокрого снега массой m =
= 100 г. Когда снег растаял, установилась температура to2 = 15oC.
Какая масса воды содержалась в мокром снеге? Удельная
теплоёмкость стали с1 = 460 Дж/(кг·1оС), удельная теплота
плавления льда λ = 3,34·105 Дж/кг, плотность воды ρ = 103 кг/м3,
удельная теплоёмкость воды с2 = 4200 Дж/(кг·1оС) .
Решение. Определим направление теплообмена в системе
"стальной сосуд + тающий лёд + вода": вода и сосуд отдают тепло;
тающий снег получает тепло.
Q1 =
сосудом.
Q2 =
m1c1 (t 1o t o2 ) количество
теплоты, отданное стальным
m 2 c 2 ( t 1o t o2 ) Vc 2 (t 1o t o2 ) количество теплоты, отдан-
ное водой в сосуде (m2 = ρV – масса воды в сосуде).
Снег – мокрый. Это значит, что он тает. Но температура
плавящегося кристаллического тела (считаем снег кристалликами
льда) не изменяется, пока всё оно не перейдёт в жидкое состояние.

23.

Таким образом, мокрый снег получает количество теплоты в два
этапа:1)
плавление льда (в снеге) при 0оС и 2) нагрев всей воды,
полученной из снега, от 0оС до to2 = 15oC.
Тогда
Q3 = (m m в ) количество теплоты, затраченное на плавление льда в мокром снеге (mв – масса воды в снеге).
Q4 =
mc 2 (t o2 0 o ) mc 2 t o2 количество
теплоты, затраченное
на нагрев всей воды, полученной из снега.
В соответствии с уравнением теплового баланса :
Q1 + Q2 = Q3 + Q4
Раскроем уравнение теплового баланса.
m1с1 ( t 1o t o2 ) Vc 2 ( t 1o t o2 ) (m m в ) mc 2 t o2 .
Проведём с полученным выражением
преобразования и определим значение mв.
алгебраические

24.

m1с1 ( t 1o t o2 ) Vc 2 (t 1o t o2 ) m( c 2 t o2 ) m в .
Отсюда
m в m( c 2 t o2 ) (m1с1 Vc 2 )( t 1o t o2 )
m( c 2 t o2 ) (m1с1 Vc 2 )( t 1o t o2 )
mв
0,042 кг 42 г.
14. В сосуд, содержащий m1 = 10 кг льда при to1 = 0oC, влили m2 =
= 3 кг воды при to2 = 90оС. Какая установится температура?
Расплавится ли весь лёд? Если нет, то какая его часть останется
в твёрдом состоянии? Теплоёмкость сосуда не учитывать.
Удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·1оС), удельная
теплота плавления льда λ = 3,34·105 Дж/кг.
Решение. Оценим, какое количество теплоты может отдать вода
при её максимальном охлаждении (до 0оС):
Q1max m 2 с(t o2 t 1o ) m 2 сt o2 1,134 10 6 Дж.
Оценим, какое количество теплоты потребуется для плавления
всего льда в сосуде:

25.

6
Q max
m
3
,
34
10
Дж.
2
1
Как следует из оценок, для плавления всего льда недостаточно
количества теплоты, которое может отдать вода при её
максимальном охлаждении. Это значит, что в сосуде в состоянии
теплового равновесия при 0оС будет находиться смесь из воды,
которая уже была налита в сосуд, воды, полученной из растаявшего
льда, и оставшейся части льда.
Теплообмен в данной системе и фазовые превращения
прекратятся тогда, когда температура в сосуде станет равной нулю.
Воде, чтобы стать льдом при 0оС, нужно отдать окружающим
телам некоторое количество теплоты. Для этого температура других
тел должна быть меньше нуля.
Льду, чтобы расплавиться при 0оС, нужно получить от окружающих тел некоторое количество теплоты. Для этого температура других
тел должна быть выше нуля.
И тот, и другой процесс невозможны, так как температура воды и
льда в сосуде одинакова. Поэтому температура смеси "вода + лёд"
будет оставаться неизменной и равной 0оС.

26.

Определим, какая масса льда расплавится при максимальном
охлаждении воды:
Q1max
1,134 10 6 Дж
mв
3,4 кг.
5
3,34 10 Дж / кг
В сосуде останется лёд массой:
mл = m1 – mв = 10 кг – 3,4 кг = 6,6 кг.
Доля оставшегося в сосуде льда составит:
mл
6,6кг
0,66 66%.
m1
10кг
Подведём итог исследованию:
1. В сосуде в конце процесса теплообмена между водой и
льдом установится температура 0оС.
2. К концу процесса теплообмена растает 34% льда, 66% льда
останется в твёрдом состоянии.

27.

3. Дальнейшеё поведение системы "лёд + вода" зависит от того,
будет ли система получать тепло от более горячих тел (в этом
случае весь лёд растает, и в сосуде будет только вода), или
отдавать тепло более холодным телам (в этом случае вся вода
замерзнёт, и в сосуде будет только лёд).
4. Если сосуд останется теплоизолированным, то температура
в нём останется равной 0оС, и равновесие льда и воды сохранится.
15. В сосуде содержится смесь из m1 = 200 г воды и m2 = 130 г
льда при to1 = 0oC. Какой будет окончательная температура, если
в сосуд ввести m3 = 25 г пара при to2 = 100oC? Удельная
теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·1оС), удельная теплота её
парообразования L = 2,26·106 Дж/кг, удельная теплота плавления
льда λ = 3,34·105 Дж/кг.
Решение. Для плавления льда при температуре to1 = 0oC
требуется Q2 = m2λ = 43420 Дж теплоты. При конденсации водяного
пара при температуре to2 = 100oC выделяется количество теплоты
Q3 = m3L = 56500 Дж > Q2.

28.

Полученный результат означает, что после конденсации пара
лёд в сосуде весь расплавится, а затем вода, находившаяся в
сосуде, и вода, полученная из льда, будут нагреваться.
Водяной пар будет отдавать теплоту в два этапа: 1) в процессе конденсации при 100оС и 2) в процессе охлаждения полученной
из пара воды от 100оС до некоторой равновесной температуры to3.
Вычислим полученное и отданное количества теплоты в
системе:
m1c(to3 – to1) + m2λ + m2c(to3 – to1) – полученное количество теплоты;
m3L + m3c(to2 – to3) – отданное количество теплоты.
В соответствии с уравнением теплового баланса:
m1c(to3 – to1) + m2λ + m2c(to3 – to1) = m3L + m3c(to2 – to3).
Отсюда получим выражение для to3 и его значение:
(m1 + m2 + m3)cto3 = ((m1 + m2)to1 + m3to2)c + m3L – m2λ;
(( m1 m 2 ) t 1o m 3 t o2 )c m 3 L m 2
15,8 о С.
t
c( m 1 m 2 m 3 )
o
3

29.

16. В колбе находится вода при 0оС. При выкачивании из колбы
воздуха часть воды испаряется, а остальная – замерзает. Какая
часть воды при этом испаряется, если притока теплоты извне
нет? Удельная теплота парообразования воды при этой
температуре
L =
2,48·106
Дж/кг, удельная
теплота
кристаллизации воды λ = 3,34·105 Дж/кг.
Решение. В данном процессе теплообмен системы с внешними
телами по условию отсутствует (Q = 0); работа системы над
внешними телами также отсутствует (А' = 0).
В соответствии с первым законом термодинамики внутренняя
энергия системы остаётся неизменной: её температура остаётся
постоянной (равной 0оС); увеличение потенциальной энергии
молекул водяного пара ΔU1 = mпL равно модулю уменьшения
потенциальной энергии молекул льда |ΔU2| = (m – mп)λ, где mп –
масса пара, m – масса всей воды в сосуде, m – mп – масса льда.
Приравняем выражения для ΔU1 и |ΔU2|:
mпL = (m – mп)λ.

30.

Отсюда
mп( L + λ) = mλ.
mп
11,9 10 2 11,9% доля испарившейся воды.
m
L
17. До какой температуры следует нагреть алюминиевый
куб, чтобы, поставленный на лёд, он мог полностью в него
погрузиться? Температура льда 0оС. Удельная теплота
плавления льда λ = 3,34·105 Дж/кг, его плотность ρл = 900 кг/м3,
удельная теплоёмкость алюминия с = 890 Дж/(кг·1оС), его
плотность ρа = 2700 кг/м3.
Решение. Q1 = ρaVc(to – 0o) = ρaVcto – количество теплоты,
отданное алюминиевым кубом при охлаждении от to до 0оС (V –
объём куба).
Q2 = ρлVλ – количество теплоты, полученное льдом в объёме
куба при плавлении.
Запишем уравнение теплового баланса в данной системе:
Q1 = Q2; ρaVcto = ρлVλ.

31.

Отсюда
ρacto = ρлλ; t o
л
125о С искомая температура куба.
а с
18. Железный шарик радиусом R, нагретый до температуры
to, положили на лёд, температура которого 0оС. На какую глубину
h шарик погрузится в лёд? Теплопроводностью льда и работой
силы тяжести пренебречь. При расчёте считать, что шарик
погрузился в лёд полностью. Удельная теплоёмкость железа с,
его плотность ρж; удельная теплота плавления льда λ, его
плотность ρл.
Решение. Определим объём Vл растаявшего
льда (см. рисунок): он равен разности объёма h
цилиндра высотой h и площадью поперечного
сечения πR2 и объёма V'л, оставшегося под
шариком (этот объём на рисунке заштрихован).
1
1 4
3
3
2
Вычислим объём V'л: V'л = πR R – R R .
3
2 3
4
V R 3 oбъём шара радиуса R.
3
R

32.

Тогда
1 3
1
3
2
Vл =
– R πR h = Vл + R ;
3
3
Vл
R
.
h=
2
3
R
4
Q1 = mшc(to – 0o) = ρж R 3 сt o количество теплоты, отданное
3
πR2h
железным шариком (mш – масса железного шарика).
Q2 = mлλ = ρлVлλ – количество теплоты, полученное льдом.
Запишем уравнение теплового баланса:
4
ж R 3 сt o л Vл .
3
Отсюда
4 ж сt o л
4 ж сt o
4 ж сt o 3
1
R R
R ;h=
R глубина
Vл
3 л
3
3 л
3 л
погружения железного шарика в лёд.

33.

19. В куске льда, находящемся при 0оС, сделано углубление,
объём которого V = 160 см3. В это углубление влито mв = 60 г
воды, температура которой to = 75oC. Какой объём будет иметь
свободное от воды углубление, когда вода остынет? Удельная
теплота плавления льда λ = 3,34·105 Дж/кг, его плотность ρл =
= 900 кг/м3, плотность воды ρв = 1000 кг/м3, её удельная
теплоёмкость с = 4200 Дж/(кг·1оС).
Решение. Q1 = mвсto – количество теплоты, которое остывающая вода отдаст льду при максимальном охлаждении.
Q2 = mлλ = ρлVлλ – количество теплоты, которое получил
расплавленный лёд.
Запишем уравнение теплового баланса в данной системе:
Q1 = Q2; mвcto = ρлVл λ.
Отсюда
m в сt o
62,87 см 3 объём растаявшего льда.
Vл
л

34.

Растаявший лёд стал водой, объём которой составляет
л
Vл 56,58 см 3 .
Vв
в
Между объёмами растаявшего льда и полученной из него воды
образовалась разность ΔV = Vл – V'в = 6,29 см3.
После наливания горячей воды в углубление (до начала
плавления льда) свободный от воды объём составлял
mв
V
100 см 3 .
в
Свободный от воды объём углубления в момент, когда налитая
вода остынет, составит
mв
V
V 106,29 см 3 .
в
20. Чистую воду можно охладить до температуры to = - 10oC.
Какая часть воды превратится в лёд, если начнётся
кристаллизация? (Теплообмен происходит только между водой и
льдом).

35.

Решение. Если в переохлаждённой воде искусственно создать
центры кристаллизации, в ней начнёт образовываться лёд.
Молекулы воды при этом станут переходить в состояние,
соответствующее
минимуму
их
потенциальной
энергии.
Уменьшение потенциальной энергии одной части молекул воды,
образующих лёд, вызовет увеличение энергии теплового движения
остальных молекул, которое будет регистрироваться как нагревание
воды.
В отсутствие теплообмена с окружающими телами в процессе
частичной кристаллизации воды произойдёт только перераспределение энергии в системе. Полная внутренняя энергия системы
останется неизменной, и, следовательно, уменьшение потенциальной энергии части молекул приведёт к соответствующему
увеличению кинетической энергии хаотического движения – повышению температуры системы.
Q1 = mлλ – количество теплоты, выделенное при кристаллизации воды массой mл (mл – масса образовавшегося льда ).
Q2 = mлсл(0о– to) – количество теплоты, затраченное на нагревание образовавшегося льда от температуры to до 0оС.

36.

Q3 = mвсв(0о– to) – количество теплоты, затраченное на нагревание оставшейся воды от температуры to до 0оС.
Запишем уравнение теплового баланса:
Q1 = Q2 + Q3; mлλ = mлсл(0о – to) + mвсв(0о – to)
Используем соотношения m = mл + mв; mв = m – mл, где m –
масса всей воды в сосуде.
Тогда
mлλ = mлсл(0о – to) + (m – mл)св(0о – to)
mлλ + mлсв(0о – to) – mлсл(0о – to) = mсв(0о – to)
mл( λ + (св – сл)(0о – to)) = mсв(0о – to)
c в (0 о t o )
mл
2
11
,
8
10
11,8% доля (часть) во
о
o
m (c в с л )(0 t )
ды, превратившейся в лёд.

37.

21. Два одинаковых калориметра высотой h = 75 см заполнены
на 1/3. Первый – льдом, образовавшимся в результате замерзания
налитой в него воды, второй – водой при температуре toв = 10оС.
Воду из второго калориметра переливают в первый, в результате
чего он оказывается заполненным на 2/3. После того как
температура в первом калориметре установилась, уровень
заполнения его увеличился на Δh = 0,5 см. Какова начальная
температура льда в первом калориметре?
Решение. Если бы в результате теплообмена между льдом и
водой весь лёд (или его часть) растаял, то уровень заполнения
первого калориметра стал бы меньше 2/3 его высоты (плотность
воды больше плотности льда).
Увеличение уровня заполнения первого калориметра означает,
что вода, перелитая из второго калориметра, полностью или
частично кристаллизовалась.
Вычислим увеличение уровня заполнения первого калориметра
в случае, если бы вся перелитая из второго калориметра вода
кристаллизовалась.

38.

h
h
л S h 1 в S h 1 в л h 2,78 см.
3
3
л
3
S – площадь поперечного сечения калориметра.
По условию задачи Δh < Δh1. Это значит, что в лёд превратилась не вся вода, перелитая из второго калориметра, а только её
часть.
Равновесие льда и воды при атмосферном давлении может
быть только при температуре 0оС.
Таким образом, в первом калориметре в состоянии теплового
равновесия будет находиться смесь из льда и воды при температуре
0оС.
Пусть mв = ρвSh/3 – масса воды, перелитой в первый калориметр из второго, Δm – масса воды, перелитой из второго
калориметра, которая превратилась в лёд.
Тогда
h
m m m
S h в
объём смеси "лёд + вода".
в
л
3

39.

Отсюда
h
S h
3
вS
h
m
m
h л
3
S в
m;
в
л
3
в л
S h в л m m в л S h.
в л
в л
Запишем уравнение теплового баланса в данной системе:
mлсл(0о – toл) = mвсв(toв – 0о) + Δm·λ, где
Q1 = mлсл(0о – toл) – количество теплоты, полученное льдом из
первого калориметра при нагревании от toл до 0оС;
Q2 = mвсв(toв – 0о) – количество теплоты, отданное водой из
второго калориметра при охлаждении от toв до 0оС;
Q3 = Δm·λ – количество теплоты, отданное частью воды из
второго калориметра при кристаллизации.
Раскроем уравнение теплового баланса и получим значение
начальной температуры льда в первом калориметре.

40.

о
m
c
t
о
в в в m
o
o
t
– mлслt л = mвсвt в + Δm·λ; л
mлсл
в л
h
о
вS c в t в
S h
3
в л
о
tл
h
л с лS
3
в c в о
3 в
h
54 o C начальная темпера t в
с л ( в л ) h
л сл
тура льда в первом калориметре.
22. В закрытом сосуде с водой при температуре 0оС плавает
лёд массой М, в который вмёрзла свинцовая дробинка массой m.
Какое количество теплоты нужно подвести к системе "лёд –
–
свинец", чтобы льдинка полностью погрузилась в воду?
Плотности свинца, льда и воды равны соответственно ρс, ρл, ρв;
удельная теплота плавления льда λ.

41.

Решение. Пусть ΔМ – масса растаявшего льда. Запишем
условие плавания льда со свинцовой дробинкой после таяния части
льда:
М М m
M M m g в g
, где
c
л
Vл = (М – ΔМ)/ρл – объём непосредственно льда, Vc = m/ρс –
объём свинцовой дробинки.
Отсюда
М М m
M M m
в
в
л
1
1
1
1
m M M ;
в c
л в
c
m
c в
л
M M в
c
л
( c в ) л
m.
M M
( в л ) c
Q = ΔM·λ – количество теплоты, подведённое к системе "лёд – свинец".
( c в ) л
M
m .
Q=
( в л ) c