Анализ системы массового обслуживания с пуассоновским потоком и групповым обслуживанием

1.

ФГБОУ ВО «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»
Кафедра системного анализа и автоматического управления
КУРСОВАЯ РАБОТА
АНАЛИЗ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С
ПУАССОНОВСКИМ ПОТОКОМ И ГРУППОВЫМ
ОБСЛУЖИВАНИЕМ.
Выполнил: cтудент 2 курса 281 группы факультета КНиИТ
Шапулин Данила Дмитриевич
Научный руководитель: старший преподаватель,
Сергеева Надежда Викторовна

2.

Актуальность
• Анализ систем массового обслуживания позволяет понять, как они функционируют
и какие процессы происходят внутри них. Это помогает выявить узкие места и
оптимизировать работу системы.
• Позволяет выявить факторы, которые могут приводить к задержкам и низкому
качеству обслуживания клиентов. Путем оптимизации этих факторов можно
повысить эффективность системы и оптимизировать расход ресурсов.
• Анализ систем массового обслуживания имеет широкое применение в различных
отраслях, таких как транспорт, здравоохранение и бизнес. Например, в
транспортной отрасли анализ систем массового обслуживания позволяет
оптимизировать расписание транспорта и сократить ожидание пассажиров. В
здравоохранении анализ систем массового обслуживания помогает планировать
рабочие графики в больницах и клиниках, чтобы минимизировать время ожидания
пациентов. В бизнесе анализ систем массового обслуживания помогает
оптимизировать процессы обслуживания клиентов и повысить уровень
удовлетворенности клиентов.

3.

Цели и задачи
• Целью настоящей курсовой работы является анализ систем массового
обслуживания с использованием пуассоновского потока и группового
обслуживания.
• Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
• провести обзор литературы и изучить теоретические аспекты систем
массового обслуживания, включая пуассоновский поток и групповое
обслуживание;
• провести анализ основных характеристик систем массового
обслуживания, таких как интенсивность обслуживания, математическое
ожидание числа требований и стационарные вероятности состояний
сети;
• написать программу на языке Python для вычисления основных
характеристик системы массового обслуживания на практике.

4.

Понятие системы массового
обслуживания
Системы массового обслуживания (СМО) представляют собой важный класс
математических исследований, используемых для анализа и моделирования
процессов обслуживания клиентов или запросов в различных областях деятельности.
СМО могут быть найдены в таких сферах, как общественный транспорт,
здравоохранение, банковское обслуживание, интернет-сервисы, производство и
другие.
Процесс моделирования СМО включает в себя формирование математической
модели, которая способна анализировать и оптимизировать функционирование
системы. В этом процессе рассматриваются различные аспекты, такие как потоки
клиентов, устройства обслуживания, производительность и приоритеты в системе.
Моделирование системы массового обслуживания дает возможность оценить
эффективность системы, выявить узкие места, прогнозировать изменения в процессе
обслуживания при различных сценариях и, в конечном итоге, разрабатывать стратегии
оптимизации для повышения качества обслуживания клиентов.

5.

Важные характеристики СМО
1. Среднее время ожидания (L): Этот параметр определяет среднее время, которое клиент
проводит в системе ожидания перед обслуживанием.Уменьшение среднего времени
ожидания может улучшить удовлетворенность клиентов.
1. Среднее время обслуживания (W): Этот параметр показывает среднее время, которое
система тратит на обслуживание каждого клиента.Эффективное сокращение среднего
времени обслуживания может повысить пропускную способность системы.
1. Интенсивность обслуживания (μ): Эта характеристика определяет, сколько клиентов
система может обслуживать за единицу времени. Интенсивность обслуживания имеет
важное значение для определения производительности системы.
1. Вероятность отказа (Pотк): Эта вероятностная характеристика показывает вероятность того,
что клиент не будет обслужен и покинет систему из-за долгого ожидания. Низкая
вероятность отказа желательна для предотвращения потери клиентов.

6.

Пуассоновский поток
Пуассоновский поток - это поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия
последствия. Это означает, что:
Вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа событий и длительности
промежутка, и не зависит от начала его отсчёта.
Вероятность наступления за элементарный промежуток времени более одного события можно пренебречь по
сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события.
Вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись
события в моменты времени,предшествующие началу рассматриваемого промежутка.Пуассоновский поток также
является ординарным потоком однородных событий, для которого число событий в интервале не зависит от чисел
событий в любых интервалах.
Формула для
распределения
Пуассона:

7.

Свойства пуассоновского потока
1. Стационарность: Вероятность появления событий на любом промежутке времени
зависит только от числа событий и длительности промежутка,и не зависит от начала его
отсчёта.
1. Ординарность: Вероятность наступления за элементарный промежуток времени более
одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот
промежуток не более одного события.
1. Отсутствие последействия: Вероятность появления событий налюбом промежутке
времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени,
предшествующие началу рассматриваемого промежутка.
1. Времена между
распределение.
моментами
скачков
независимы
и
имеют
экспоненциальное
1. Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения.

8.

Групповое обслуживание
Групповое обслуживание представляет собой важный аспект теории массового обслуживания, нацеленный
на эффективное управление потоками требований путем их обслуживания не индивидуально, а группами.
В современном мире, где технологии и обмен информацией играют ключевую роль, групповое
обслуживание выходит на передний план как важный аспект организации и предоставления услуг.
Оно находит применение в различных областях, начиная от сферы общественного питания и заканчивая
предоставлением образовательных услуг. Важной характеристикой является возможность обеспечения
качественного обслуживания каждого члена группы, учитывая их индивидуальные потребности.
Групповое обслуживание представляет широкий класс моделей, и анализ его характеристик может быть
проведен с помощью математических методов, включая теорию вероятностей, теорию очередей и
численное моделирование для определения оптимальных параметров и поведения системы при
различных условиях.

9.

Групповое обслуживание
Основные характеристики группового обслуживания включают:
1. Размер группы (Group Size): Это количество требований, которые обслуживаются одновременно. Размер
группы может быть фиксированным или переменным в зависимости от конкретной модели системы.
2. Интенсивность поступления (Arrival Rate): Это скорость, с которой требования поступают в систему
обслуживания. В моделях группового обслуживания это может быть представлено как интенсивность
пуассоновского потока требований.
3. Интенсивность обслуживания (Service Rate): Это скорость, с кото-рой группы требований обрабатываются
или обслуживаются в системе. Она может быть представлена как скорость обработки всей группы за
единицу времени.
4. Стратегия обслуживания (Service Discipline): Определяет порядок,в котором группы требований
выбираются для обслуживания. Некоторые из стратегий включают FIFO (First-In-First-Out), LIFO (Last-In-FirstOut),приоритетное обслуживание и другие.
5. Эффективность и производительность системы: Групповое обслуживание может повысить эффективность
системы за счёт сокращения времени на переключение между требованиями, снижения накладных
расходов на управление потоками и более эффективного использования ресурсов.
6. Вероятностные характеристики системы: Как и в других моделях массового обслуживания, групповое
обслуживание также характеризуется стационарными вероятностями состояний системы, средним
временем пребывания требований в системе, средней длиной очереди и другими метриками.

10.

Результаты разработанной программы
Для моделирования и анализа системы
M/M (a, b)/1 групповым обслуживанием
и пуассоновским потоком была
разработана программа.
В программе вычисляются следующие
характеристики:
1. Стационарная вероятность того, что в
системе отсутствуют заявки в момент
времени;
2. Стационарные вероятности того, что в
очереди находится одна заявка, а
количество заявок в системе равно n;
3. Среднее число требований в очереди;
Результаты ее вычислений можно
увидеть на картинках справа.

11.

Результаты
В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ системы массового
обслуживания с использованием пуассоновского потока и группового обслуживания.
Были рассмотрены основные элементы системы массового обслуживания, свойства
пуассоновского потока, характеристики группового обслуживания, а также методы
моделирования систем массового обслуживания.
Исследованы ключевые показатели производительности системы: интенсивность
обслуживания, математическое ожидание числа требований и стационарные
вероятности сети. Моделирование открытой системы обслуживания позволило
предсказать эти показатели и проанализировать влияние различных параметров на
качество обслуживания.
Уделено особое внимание разработке программы для моделирования, что
предоставляет инструмент для оптимизации и улучшения ее производительности.
Полученные результаты могут быть использованы в разработке и улучшении
технологических и информационных систем, а также способствовать повышению
уровня обслуживания и удовлетворенности клиентов.

12.

ФГБОУ ВО «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»
Кафедра системного анализа и автоматического управления
КУРСОВАЯ РАБОТА
АНАЛИЗ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПУАССОНОВСКИМ
ПОТОКОМ И ГРУППОВЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ.
Спасибо за внимание!
Выполнил: cтудент 2 курса 281 группы факультета КНиИТ
Шапулин Данила Дмитриевич
Научный руководитель: старший преподаватель,
Сергеева Надежда Викторовна