233.99K
Категория: МатематикаМатематика

Вписанная и описанная окружность

1.

2.

Если все стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называется вписанной
в многоугольник.
А многоугольник
D
С
называется
описанным около
этой окружности.
О
E
В
А

3.

Какой из двух четырехугольников АВСD или АЕКD
является описанным?
К
С
E
В
О
D
А

4.

В прямоугольник нельзя вписать окружность.
С
В
О
А
D

5.

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении
вписанной окружности?
Свойство касательной
С
E
Свойство отрезков
касательных
F
В
О
D
P
К
А

6.

В любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны.
E
d
С
d
R
c
a
В
О
D
c
a
F
N
b
А
b

7.

Верно и обратное утверждение.
Если суммы противоположных сторон выпуклого
четырехугольника равны, то в него можно вписать
окружность.
С
ВС + АD = АВ + DC
В
О
D
А

8.

Теорема
А
В любой треугольник можно
вписать окружность.
Дано: АВС
Доказать, что в
треугольник можно
вписать окружность
С
В

9.

1) ДП: биссектрисы углов треугольника
Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника
2)
СOL = COМ, по гипотенузе и ост. углу
А
ОL = MО
3)
МОА= КОА, по гипотенузе и ост. углу
МО = КО
4) LО=MО=KО
точка О равноудалена от сторон
треугольника. Значит, окружность с
центром в т.О проходит через точки
K, L и M. Стороны треугольника АВС
касаются этой окружности. Значит,
окружность является вписанной
АВС.
В
M
K
О
С
L

10.

Центр окружности,
вписанной в
треугольник, является
точкой пересечения его
биссектрис.
А
О
С
В

11.

Площадь описанного многоугольника
равен половине произведения его
периметра на радиус вписанной
окружности.
a2
В
a1
С
r
r
r
a3
D
О
+ S ВОС
1
a2 r
2
SCOD

1
a3 r
2
1
S n (a1 a2 a3 ...) r
2
А
К
S AOB
1
a1 r
2
1
S n Pn r
2
F

12.

Если все вершины многоугольника лежат на
окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника.
А многоугольник
С
В
D
О
А
E
называется
вписанным в эту
окружность.

13.

Какой из многоугольников, изображенных на рисунке
является вписанным в окружность?
С
С
D
D
P
В
В
О
О
E
L
А
E
X
А
E

14.

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении
описанной окружности?
В
А
О
D
С
Теорема о вписанном угле

15.

В любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных углов равна 1800.
В
А
О
1
А ВCD
2
+
1
C ВAD
2
3600
D
С
1
А С ( ВСD ВАD )
2
А С 1800

16.

Верно и обратное утверждение.
Если сумма противоположных углов
четырехугольника равна 1800, то около него можно
вписать окружность.
В
А
670
А
1000
D
В
990
О
1130
770
О
800
1230
С
D
790
С

17.

Теорема
Около любого треугольника можно
описать окружность.
А
Дано: АВС
Доказать, что можно
описать окружность
С
В

18.

1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам
ВOL = CO L, по катетам ВО = СО
3) СОМ = АOМ, по катетам СО = АО
2)
4) ВО=СО=АО, т.е. точка О
равноудалена от вершин
треугольника. Значит,
окружность с центром в т.О
и радиусом ОА пройдет
через все три вершины
треугольника, т.е. является
описанной окружностью.
А
M
K
С
О
L
В

19.

Центр окружности,
описанной около
треугольника, является
точкой пересечения
серединных
K
перпендикуляров к
сторонам треугольника
А
M
О
С
L
В

20.

Центр описанной
около
остроугольного
треугольника
окружности лежит
внутри
треугольника.

21.

Центром
описанной около
прямоугольного
треугольника
окружности
является середина
гипотенузы.

22.

Центр описанной
около
тупоугольного
треугольника
окружности лежит
вне треугольника.
English     Русский Правила