Начисление процентов в условиях инфляции

1.

Начисление процентов в условиях
инфляции.
S – наращенная сумма денег, измеренная по
номиналу;
С – наращенная сумма с учетом ее обесценения;
Jp – индекс цен;
Jс – индекс, характеризующий изменение
покупательной способности денег за
период.
С = S·Jс , Jс = 1/Jp.

2.

Под темпом инфляции h понимается
относительный прирост цен за период, обычно
он измеряется в процентах и определяется как
h =100(Jp–1).
В свою очередь Jp =(1+h/100).
k
J p (1 ht / 100),
t 1
где ht – темп инфляции в периоде t.
Постоянный темп инфляции на уровне 2% в месяц
приводит к росту цен за год в размере
Jp = (1+h/100)n =1,0212=1,268

3.

Если наращение производится по простой
ставке i в течение n лет, то реальное наращение
при темпе инфляции h составит
S
1 ni
1 ni
C
P
P
Jp
Jp
(1 h / 100) n

4.

На сумму 1500 руб. в течение трех месяцев
начисляются простые проценты по ставке
28% годовых.
Ежемесячная инфляция характеризуется темпами
2,5; 2,0; 1,8%. Найти наращенную сумму с учетом
обесценивания.
Решение.
S = 1500·(1+0,25·0,28)=1605 руб.
Индекс цен Jp= 1,025·1,02·1,018=1,06432.
С = 1605/1,06432 = 1507,85 руб.

5.

Наращенная по сложным процентам сумма к
концу срока ссуды с учетом падения
покупательной способности денег составит
(1 i )
1 i
P
.
C = S / Jp= P
n
(1 h / 100)
1 h / 100
n
n
i>h
i=h
i<h

6.

Один из способов компенсации обесценения
денег заключается в увеличении ставки
процентов на величину так называемой
инфляционной премии.
Скорректированная таким образом ставка
называется брутто-ставкой. Брутто-ставка r
находится из равенства:
1 nr
1 ni.
Jp
r
(1 ni) J p 1
n

7.

Вы разместили средства в виде полугодового
депозита под ставку 40% годовых. Но темп
инфляции составил 35% годовых. Какова
реальная ставка процентов?
Решение. r = 0,4; h = 35%; n =1/2.
Индекс цен Jp за полгода равен
Jp =(1+h/100)n = =1,161895.
i =((1+nr) / Jp–1)/n =
=((1+0,2)/1,161895–1)·2=0,06559, т.е. 6,559%.

8.

При начислении сложных процентов
применяются два способа компенсации потерь
от снижения покупательной способности денег.
1. Корректировка ставки процентов, по которой
производится наращение (брутто-ставка r).
1 r
1 i
1 h
где i – реальная ставка, h выражен в виде
десятичной дроби. Отсюда
r = i+h+ih,
т.е. инфляционная премия равна h+ih.

9.

2. Индексация первоначальной суммы P. В этом
случае сумма P корректируется согласно движению
заранее оговоренного индекса. Тогда
S = P Jp (1+i)n.
Предполагаемый темп инфляции 12% в год. Какую
ставку сложных процентов нужно проставить в
контракте, если желательна реальная доходность
8%? Чему равна инфляционная премия?
Решение. r = i+h+ih =0,08+0,12+0,08·0,12=0,2096,
т.е. примерно 21%.
Инфляционная премия равна 21%–8%=13%.

10.

Учет налогов.
S – наращенная сумма до выплаты налогов;
S” – наращенная сумма с учетом выплат;
g – ставка налога на проценты;
G – общая сумма налога.
При начислении простых процентов за весь
срок: G = (Pni)g= Pnig;
S”=S– (S – P)g = S(1– g)+ Pg = P (1+n ((1– g) i)).

11.

Начисление налога на сложные проценты за
весь срок:
G= (S – P)g= P ((1+i)n –1)g;
S”=S –(S –P)g =S(1– g) +Pg = P ((1– g)(1+i)n +g).
Расчет налога за каждый истекший год
(обозначим сумму налога за год t через Gt):
Gt = (St –St–1)g =P((1+i)t–(1+i)t –1)g= P(1+i)t-1ig.
Всего:
t 1
t 1
Gt P(1 i) ig Pig (1 i)
t
t
(1 i) n 1
Pig
G
i
t

12.

Конверсия валюты и начисление
процентов.
j
i
i
j

13.

Обозначения:
Pv – сумма депозита в валюте;
Pr – сумма депозита в рублях;
Sv – наращенная сумма в валюте;
Sr – наращенная сумма в рублях;
K0 – курс обмена в начале операции
( курс валюты в рублях);
K1 – курс обмена в конце операции;
n – срок депозита;
i – ставка наращения для рублевых сумм;
j – ставка наращения для конкретного вида
валюты

14.

Вариант: валюта → рубли → рубли → валюта
1
S v Pv K 0 (1 ni )
K1
Множитель наращения r:
K0
1 ni
r
(1 ni )
K1
K1 / K 0
K1 /K0 =k – темп прироста обменного курса
за срок операции

15.

Доходность операции:
S v Pv K 0 / K1 (1 ni ) 1 1 1 ni 1
iэфф
Pv n
n
k n
n
iэфф
i
k
1
k*
k*: iэфф= 0, т.е. k*=1+ni или K1*=K0(1+ni)

16.

Барьерные значения:
K0
1 nj
(1 ni );
K1
(1 ni)
K K0
;
(1 nj )
(1 ni )
k'
(1 nj )
'
1
Т.о., депозит валюты через конвертацию в
рубли выгоднее валютного депозита, если
'
K1 K1.

17.

Вариант: рубли → валюта → валюта → рубли
Pr
K1
Sr
(1 nj ) K1 Pr (1 nj )
K0
K0
Доходность операции:
S r Pr K1 / K 0 (1 nj ) 1 k (1 nj ) 1
iэфф
Pr n
n
n
iэфф
j
k
k*
1
1
k*
1 nj
K0
K1*
1 nj

18.

Барьерные значения:
K1
(1 nj ) 1 ni;
K0
(1 ni)
'
K1 K 0
;
(1 nj )
(1 ni )
k'
(1 nj )
Т.о., депозит рублевых сумм через конвертацию
в валюту выгоднее рублевого депозита, если
обменный курс в конце операции ожидается
больше k '.

19.

Конверсия валюты при сложных процентах.
Вариант: валюта → рубли → рубли → валюта
n 1
S v Pv K 0 (1 i )
K1
Множитель наращения r:
n
K0
(
1
i
)
r
(1 i ) n
K1
k
(k = K1 /K0)

20.

Доходность операции:
Sv
Pv (1 i) n K 0 / K1
1 i
n
1 n
1 n 1
Pv
Pv
k
iэфф
iэфф
j
i
k
a
1
k*: iэфф= 0, т.е. k*=(1+i)n
k*

21.

Барьерные значения:
n
(
1
i
)
(1 j ) n
;
k max
(1 i)
n
(1 j )
n
kmax

22.

Погашение задолженности частями.
Контур финансовой операции –
это графическое изображение процесса
погашения краткосрочной задолженности
частичными (промежуточными) платежами.
Сбалансированная операция имеет замкнутый
контур, т.е. последняя выплата полностью
покрывает остаток задолженности.

23.

Частичные
платежи
Актуарный
метод
Правило
торговца
R>I
n<1
R<I
n>1

24.

Актуарный метод предполагает
последовательное начисление процентов на
фактические суммы долга.
Частичный платеж идет в первую очередь на
погашение процентов.
K1 P(1 t1i ) R1 ;
K 2 K1 (1 t 2i ) R2 ;
K 2 (1 t3i ) R3 0.

25.

Пример. Имеется обязательство погасить за 1,5
года (с 12.03.2011 по 12.09.2012) долг в размере
15 тыс. руб. Кредитор согласен получать
частичные платежи. Действующая простая
ставка – 20% годовых. Частичные поступления
характеризуются следующими данными:
12.06.2011 – 500 руб.
12.06.2012 – 5000 руб.
30.06.2012 – 8000 руб.
Каков остаток задолженности на 12.09.2012?
(схема (30, 360))

26.

Решение. На 12.03.2011 долг 15000 руб.
12.06.2011 долг с процентами P1=15750 руб.
Поступление R1=500 < I1=750 руб.
присоединяется к следующему платежу.
12.06.2012 долг с процентами P2=15000·360/360·0,2
+ P1= 18750 руб. [P2 =15000·(1+(1+3/12)·0,2) ]
Поступления R1 +R2 =500+5000 >3750 руб.
Остаток долга К2=13250 руб.
30.06.2012 долг с процентами P3=13250·18/360·0,2
+ К2= 132,5+13250=13382,5 руб.
Поступление R3=8000 >132,5 руб.
Остаток долга К3=5382,5 руб.
12.09.2012 долг с процентами P4=5382,5·72/360·0,2
+ К3= 215,3+5382,5=5597,8 руб.=R4.

27.

Правило торговца.
Сумма долга с процентами остается
неизменной до полного погашения.
В свою очередь накапливаются платежи
с начисленными на них до конца срока
процентами. Последний взнос должен быть
равен разности этих сумм.
Q S K P(1 ni) R j (1 t j i )
j
Q – остаток долга (последний взнос);
S – наращенная сумма долга;
К – наращенная сумма частичных платежей;
tj – интервал времени от момента платежа до конца
срока ссуды

28.

Пример.
S1= 15000·(1+0,2)=18000 руб.
К1= 500·(1+9/12·0,2)=575 руб.
Q1= 18000 – 575 = 17425 руб.
S2= Q1·(1+1/2·0,2)=19167,5 руб.
К2= 5000·(1+3/12·0,2) + 8000·(1+72/360·0,2)=
= 5250 + 8320 = 13570 руб.
Q2= 5597,5 руб.