Общая методика обучения математике

1. Общая Методика обучения математике

2. Математические понятия

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Понятия - это одна из главных составляющих содержания любого предмета, и первоначальная
задача учителя при изучении любой темы - формирование понятийного аппарата данной
темы.
Понятия - это форма мышления, которая отражает существенные
(отличительные) свойства объекта.
Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему. Содержание понятия
раскрывается в его определении. Его объем - в классификации.
Содержание понятия - это множество всех существенных (отличительных)
признаков данного понятия.
Объем понятия - множество объектов, к которому применимо данное понятие.
Пример 1: Понятие «треугольник». Содержанием данного понятия является характеристическое
свойство - наличие трех вершин, трех сторон и трех углов. Объемом понятия будет являться
класс всевозможных треугольников.
Существенные (характеристические) свойства - это свойства, каждое из которых необходимо,
а все вместе достаточны для характеристики объектов, характеризующих данное понятие.
Пример 2: Понятие «параллелограмм». Содержание понятия представлено свойствами:
противоположные стороны равны и параллельны; противолежащие углы равны; диагонали
точкой пересечения делятся пополам. Объем данного понятия представлен следующими
четырехугольниками: параллелограмм -> ромбы + прямоугольники -> квадрат.
Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие
называется родовым по отношению к первому, а первое называется
видовым по отношению ко второму.
Например: понятие «ромб» - родовое по отношению к понятию «квадрат».

3.

Виды понятий
Равнозначные
Объемы таких
понятий
совпадают
Пересекающиеся
Объемы
частично
пересекаются
Находящиеся в
отношении
включения
Объем одного
понятия
содержится в
объеме
другого

4. Классификация понятий

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЙ
Классификация понятий - это выяснение объема понятий,
т.е. разделение множества объектов на виды.
При классификации понятий соблюдаются следующие
условия:
1) классификация проводится по определенному признаку,
который не меняется в процессе классификации;
2) понятие, полученное в процессе классификации, взаимно
независимы;
3) сумма объемов понятий, равна объему исходного понятия;
4) в процессе классификации переходят к ближайшему в данном
родовом понятии виду.

5. Определения. Виды определений.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ВИДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ.
Определение понятия – это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е.
совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов,
принадлежащих определенному понятию.
Виды определений:
1) Явное определение – содержит прямое указание на существенные признаки понятия.
Пример: «Угол – это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки».
2) Неявное определение – не содержит четкого и однозначного определяющего элемента.
Пример: «Единица - натуральное число; если n - натуральное число, то n+1 - также натуральное
число, никаких других натуральных чисел не существует».
3) Номинальные определения – вводит новый термин, символ или выражение для сокращения или
уточнения другого выражения.
Пример: «Квадратичным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное
число х, что х2=а».
4) Реальные определения – фиксируются характеристические свойства самих определяемых
объектов.
Пример: Пятиугольник – есть плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами.
5) Аксиоматическое определение – некие неопределенные понятия (точка, плоскость и др.)
6) Определения через родовые и видовые отличия.
Пример: Квадрат – прямоугольник с равными сторонами.
7) Генетическое определение – описывается способ происхождения, образования, построения.
Пример: Шар – это геометрическое тело образованное вращением полукруга вокруг диаметра.

6. Правила формулировки определения:

ПРАВИЛА ФОРМУЛИРОВКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
1) Определение должно быть соразмерным.
Правило соразмерности требует, чтобы объем определяемого понятия был равен
объему определяющего.
2) Определение не должно заключать в себе круга.
Если при определении мы прибегаем к другому понятию, которое, в свою очередь,
определяется при помощи первого, то такое определение содержит в себе круг.
Разновидностью круга в определении является тавтология - ошибочное
определение, в котором определяющее понятие повторяет определяемое.
3) Определение должно быть ясным.
Оно должно указывать на известные признаки, не нуждающиеся в определении и
не содержащие двусмысленности. Если же понятие определяется через другое
понятие, признаки которого неизвестны и которое само нуждается в
определении, то это ведет к ошибке, называемой определением неизвестного
через неизвестное, или определением х через у.
4) Определение не должно быть отрицательным.
Отрицательное определение не раскрывает определяемого понятия.
указывает, чем не является предмет, не указывая, чем он является.
Оно

7. Примеры ошибок в определениях

ПРИМЕРЫ ОШИБОК В ОПРЕДЕЛЕНИЯХ
• Медианой
треугольника
называется
соединяющий вершину треугольника с
стороны.
отрезок,
серединой
• Медианой треугольника называется прямая, проходящая
через вершину треугольника и середину противоположной
вершине стороне.
• Простыми числами называются числа, которые делятся
на 1 и на себя.
• Диаметром окружности называется наибольшая хорда
этой окружности, проходящая через ее центр.
• Параллельными прямыми называются прямые, лежащие
в одной плоскости и не имеющие общих точек.

8.

Формирование понятия происходит по следующей
схеме:
Ощущения
Восприятие
Представление
о понятии
Понятие

9.

Этапы формирования понятия:
1. Мотивация
2. Выявление
существенных
свойств
3. Формулировка
определения

10. Пути формирования понятия

ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ
1
2
Индуктивный:
Мотивация
Дедуктивный:
Применение понятия
Выявление существенных
свойств
Рассматривается определение
Определение понятия
Выявляются существенные
свойства понятия
Применение понятия.
Мотивация.

11.

Спасибо за внимание!