Меры разброса. Отклонение. Дисперсия

1. Меры разброса

2. Отклонение Дисперсия

3. Задание 1

На место токаря претендуют двое рабочих. Для
каждого из них установили испытательный срок,
в течение которого они должны были изготовить
одинаковые детали. Результаты рабочих
представлены в таблице
Вопрос: кого из рабочих
предпочтительнее взять на работу?

4.

Средняя производительность труда за день у
обоих рабочих одинаковая:
X =Y = 250 : 5 = 50 (дет./день). Моды у
предложенных совокупностей отсутствуют, а
медианы одинаковые (50 и 50). Зато можно
оценить стабильность производительности.

5. Отклонение

X
52
54
50
48
46
Cреднее арифметическое:
X= (52+54+50+48+46)/5=50
Отклонение – разность между числом набора
И средним значением
Набор отклонений :
X- X
2
4
0
Сумма отклонений:
-2
-4
2+4+0+(-2)+(-4)=0
Сумма отклонений всегда равна 0, поэтому
не может нести информацию о разбросе

6. Квадраты отклонений

X
52
54
50
48
46
Cреднее арифметическое:
X= (52+54+50+48+46)/5=50
Набор отклонений:
X-X
2
4
0
-2
-4
Набор квадратов отклонений:
(X – X)²
4
16
0
Сумма квадратов отклонений:
4+16+0+4+16 = 40
4
16

7. Дисперсия

Дан числовой набор:
X
52
54
50
48
46
Набор отклонений:
X-X
2
4
0
Набор квадратов отклонений:
-2
-4
(X – X)²
4
16
0
Дисперсия - среднее арифметическое квадратов
отклонений:
Dx= (4+16+0+4+16)/5 = 40/5 = 8
Дисперсия – характеристика разброса, мера
стабильности.
Чем больше дисперсия, тем ниже стабильность
4
16

8.

9.

Dx= 8
Dу = 56,4

10. Выводы

При сравнении нескольких числовых наборов
с одинаковым количеством чисел в наборе
в качестве меры сравнения можно взять
суммы квадратов отклонений
При сравнении нескольких числовых наборов
с различным количеством чисел в наборе
в качестве меры сравнения берут дисперсии наборов

11. Задание 2

Для определения
точности ружья
проводят их
испытания, проводят
десять выстрелов и
сравнивают
результаты попадания
в цель. Какое из трёх
ружей стреляет
точнее? Какая
математическая
величина
характеризует эту
точность?

12. Таблица измерений горизонтальных отклонений от цели

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
А
+1,0 +1,0 +2,0 +1,5 +2,0 +2,0 +1,5 +1,5 +0,5 +1,0
Б
+1,0 0
-1,5
+1,5 -0,5
-1,5
В
-0,5
0
-1,5
+1,0 +1,0 +1,5 +1,0 +3,0
-1,0
-1,0
+2,0 +1,0 -1,0
Средние значения результатов испытаний:
А: 1,4
Б: 0,3
В: 0,35
+2,0

13. Дисперсия результатов измерений для ружья А

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Результат
+1,0 +1,0 +2,0 +1,5 +2,0 +2,0 +1,5 +1,5 +0,5 +1,0
Отклонение
-0,4
Квадрат
отклонения
0,16 0,16 0,36 0,01 0,36 0,36 0,01 0,01 0,81 0,16
-0,4
0,6
0,1
0,6
0,6
0,1
0,1
-0,9
-0,4

14. Дисперсия результатов измерений для ружья Б

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Результат
+1,0 0
-1,5
+1,5 -0,5
-1,5
+2,0 +1,0 -1,0
+2,0
Отклонение
0,7
-1,8
1,2
-1,8
1,7
1,7
Квадрат
отклонения
0,49 0,09 3,24 1,44 0,64 3,24 2,89 0,49 1,69 2,89
-0,3
-0,8
0,7
-1,3

15. Выводы

Сравнивая числовые
характеристики для двух ружей,
можно сделать вывод, что разброс в
попаданиях в цель у ружья Б почти
в 3 раза больше, чем у ружья А.

16. Задание для самостоятельной работы. На станках изготовляют детали по стандартным размерам. Для определения точности работы

станков
случайным образом выбирают 10 деталей и производят
их измерения (в данном случае – длина детали в мм). С
использованием алгоритма вычисления дисперсии и
среднего квадратического отклонения сравните точности
двух станков по отклонениям от стандарта, приведённым
в таблице.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+0,3 +0,6 -0,3
10
I
+0,5 +0,3 -0,2
+0,4 -0,5
-0,2
II
-0,5
-0,3
+0,2 +0,5 +0,1 +0,3 +0,5
-0,4
0
-0,1
+0,1