Математика и музыка

1. Математика и музыка

2.

Цель: узнать новое о математике и музыке, и
выяснить, родственны ли они между собой.
Задачи:
•проанализировать
литературу
по
теме
исследования;
•сравнить материал, изучаемый в музыкальной
школе, и материал, который изучают ученики в
школьном курсе математики;
•переложить
числа
(даты
рождения
одноклассников) на музыку;
•установить
связь
между
звуками
и
способностями личности;
•сформулировать выводы.

3.

Актуальность темы: на сегодняшний день
значимость
музыкального
образования
значительно снижается. Люди забывают о том,
что музыка и математика – родные сёстры, что
они просто созданы помогать друг другу.
Учитывая, что математика становится всё
более популярным, но остаётся при этом не
менее сложным предметом, ценность музыки и
музыкального
образования
как
вспомогательного должна повышаться, но это
придёт только с пониманием способности
музыки помогать в изучении математики.

4.

5.

Ритм
Вариации
Длительность
Параллели
Противоположности
Симметрия
Прогрессия

6. Ритм

Ритм – один из важнейших элементов музыки.
Ритм
–
чередование
длительностей.
Оказывается, и среди чисел можно обнаружить
ритмы. Первые 100 натуральных чисел
расположены в виде изящной правильной
фигуры – так называемого Пифагорова
квадрата.

7.

Проанализировав
все
произведения
музыкальной хрестомати, я убедилась еще раз
в том, что в основе их лежит ритм (3/4, 6/8, 9/8,
12/8, 2/2 и т.д.) Слово «ритм» изначально
принадлежало
музыке,
хотя
сегодня
неудивительно, что оно может быть известно
человеку совершенно из других источников.
Даже в словаре Ожегова «ритм» определяется
как равномерное чередование каких-нибудь
элементов. Музыкальный ритм дается как
пример, а не как определение. Таким образом,
«ритм» можно назвать общим понятием в
области
науки
и
искусства.

8.

Исследуя математические закономерности и
числовые последовательности, часто можно
обнаружить
ритмичность.
В
частности,
«простейшими» примерами математических
ритмов являются периодические дроби (кстати,
слово «период» также знакомо музыкантам).
Взять хотя бы дробь 2/82. Ее можно записать в
виде 2/82=0,0243902439…или 2/82= 0,(02439)
Окружающий
нас
мир
полон
ритмов.

9. Вариации

Вариация – музыкальное произведение, форма
музыкального произведения, состоящего из
нескольких частей, каждая из которой звучит с
изменениями. Существуют 3 типа вариаций:
• - Мелодические
• - Ритмические
• - Гармонические

10.

• Композитор, разрабатывая избранную им
тему, может варьировать ее мелодический
рисунок, видоизменять ритм и гармонию, т.е.
созвучия. Разумеется, он может варьировать
одновременно 2 или даже 3 элемента, с
каждой вариацией всё более уходя от
начальной темы.
• Слово или число можно определить и
описать многими способами. Числа тоже
можно задавать словами, иногда это даже
удобнее, чем обычная цифровая запись и
наоборот.

11. Длительность

• В музыке мы имеем дело с короткими и
длинными длительностями, они составляют
основу
любого
ритма:
целая
нота,
половинная, одна четверная, одна восьмая,
одна шестнадцатая…
• Названия
длительности
служат
одновременно и названиями чисел. Нетрудно
понять, почему длительности музыкальных
нот заимствовали свои названия у дробей.
Мы видим, что длительности получаются так
же, как дроби: они возникают при делении
целой ноты на равные доли. Поэтому
длительность можно подсчитывать как
дробные числа.

12. Параллели

Параллели во множестве встречаются в
природе. Траектории каплей дождя
параллельны, гребни морских волн и т.д.
В твореньях, созданных человеком –тоже
много параллелей. В музыке, как и в
математике,
тоже
есть
понятие
параллельности.
Параллельные
тональности, мажор и минор, а ещё
линии нотного стана всегда параллельны,
то есть никогда не пересекаются.

13.

Поразмыслим,
почему
ноты
приходится
располагать на параллельных прямых? Так ли
необходима здесь параллельность? Ведь в
древности музыканты записывали музыку поразному: и при помощи букв, и графическими
знаками – невмами, передававшими общее
направление интонации, но не позволявшими
выразить длительность звучания или его
изменение по высоте вверх или вниз.
Музыканта интересует не просто то, что одна
нота выше или ниже другой: ему требуется
знать, насколько одна выше или ниже другой.
Измерить высоту нам как раз помогают
параллельные линейки. Параллельные линии
можно увидеть не только в нотах, но и во
внешней форме некоторых музыкальных
инструментов: струны арф или органные трубы.

14.

Слово
“параллельный”
происходит
от
греческого “параллелос” - идти рядом. От него
уже
происходит
вам
знакомое
слово
“параллелепипед”.
“Аналогия” - понятие
близкое параллелелизму. Аналогии оказывают
существенную помощь при решении задач.
Рассмотрим
примеры,
отчетливо
показывающие, как внешне различные объекты
обладают внутренним сходством, что позволяет
сводить одну задачу к другой.

15.

Параллели можно обнаружить не только в
нотной записи, но в самом звучании музыки.
Сравните, что получится, если одна и та же
мелодия
будет
исполнена
различными
голосами, т.е. одновременно, в унисон будут
петь 2 голоса. Какую здесь мы наблюдаем
параллельность? Голоса поют одинаковую
мелодию, только женский голос будет звучать в
верхнем регистре, а мужской - в нижнем, а
звучат они параллельно (“Голубой вагон”).
Параллельно
могут
звучать
голос
и
фортепианное сопровождение со сдвигом на
октаву. (“Дважды два – четыре”). Параллельно
будут звучать голоса туристов при исполнении
песен у костра, а может, и в хоре при условии
исполнения произведений в унисон.

16. Противоположности

В математике существуют противоположности:
• Отрицательное число – положительное число
• Плюс – минус
• Деление – умножение
• Четное число – нечетное число
• Больше – меньше
• Простое число – составное число
• Число х - обратное число 1/х
• Сложение – вычитание
• Четное число – нечетное число

17.

Половина – вдвое больше
Делитель – кратное
Простое число – составное число
Параллельно – перпендикулярно
Прямая - кривая
В музыке существует еще одна пара
противоположностей: медленно-быстро. Эта
пара играет весьма важную роль в музыке.
Характер песни во многом определяется ее
темпом. И искажая темпы, можно исказить и
всё произведение.

18.

Еще одна противоположность в музыке –
высокое и низкое. Такие качества относятся,
прежде всего, к области не слуховых, а
зрительных ощущений: высокое здание, низкий
потолок и т.д. Это в большей степени относится
к
музыкальным
инструментам.
Высоким
звучанием отличаются, например, флейта –
пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба,
контрабас. Противоположностей в музыке
очень много: громкий – тихий, быстрый –
медленный, длинный – короткий, многоголосие
соло,
вокальное
исполнение
–
инструментальное и т.д.

19. Симметрия

Симметрия часто используется в музыке. Ряд
музыкальных форм строится симметрично. В
этом отношении особо характерно рондо (рондо
от фр. – круг). В рондо музыкальная тема
многократно повторяется, чередуясь эпизодами
различного
содержания.
Главная
тема
проводится не менее трех раз в основной
тональности,
а
эпизоды
–
в
других
тональностях. Это напоминает зеркальную
симметрию, основная тема служит плоскостью,
от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот
эпизод, который раньше прозвучал в высокой
тональности, повторяется в низкой, и наоборот.

20.

• Приложим к музыкальному произведению
понятие симметрии при помощи нот, т. е.
получаем пространственный геометрический
образ.
• Гамма до мажор. Композитор в своем
произведении может по несколько раз
возвращаться к одной и той же теме,
постепенно разрабатывая ее. Примером
данной формы является «Рондо-каприччио»
(фортепиано) Бетховена.

21. Прогрессия

• Арифметическая прогрессия – числовая
последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом.
• Геометрическая прогрессия – числовая
последовательность, первый член которой
отличен от нуля, а каждый последующий
равен предыдущему, умноженному на одно и
то же число.
• Как ни странно, обе эти прогрессии «живут» и
в музыке.

22.

• Интересно,
что
принцип
построения
длительностей
соответствует
принципу
построения геометрической прогрессии. И
если записать длительности от «целой»
(которая принята в музыке за единицу) по
степени убывания, то получим:
• В математике такая последовательность
называется
бесконечно
убывающей
геометрической прогрессией, как бесконечная
геометрическая
прогрессия,
модуль
знаменателя которой меньше единицы (в
данном случае –1/2).

23.

• Понятие арифметической прогрессии связано
с музыкальным понятием квинтовый круг.
• Квинтовый круг представляет собой логику
создания любой тональности. (Для того, чтобы
записать музыку в какой-либо тональности,
необходимо знать ее тонику и знаки при
ключе. Квинтовый круг реализует данные
условия).
• Принцип его построения предельно прост: с
увеличением тоники тональности на квинту
количество
знаков
в
тональности
увеличивается на единицу (здесь мы
встречаемся
фактически
с
двумя
арифметическими прогрессиями).

24. Определение творческих способностей по дате рождения с использованием нотной грамоты

Мы решили протестировать наш класс: у
каждого взяли по дате рождения. Перенесли
все данные на нотный стан. Позже проверили
все эти аккорды. В нашем классе 25
обучающихся, 6 из них – люди творческие.
Из творческих людей 5 человек занимаются
музыкой, следовательно, наш эксперимент
можно считать удачным. Это исследование еще
раз подтверждает, что математика и музыка
имеют тесную взаимосвязь.

25. Заключение

Рассмотрев
математическую
теорию
музыки, мы глубже поняли и разобрались
в том, что приятные для слуха различные
музыкальные звуки подчиняются простым
математическим законам. Так же нас
порадовало, что и современные ученые
изучают геометрический строй музыки.
Данная тема актуальна в наши дни, и в
ней есть место для новых открытий.

26. Спасибо за внимание!