Практикум по решению текстовых задач (для подготовки к ЕГЭ по математике)

1.

(для подготовки к ЕГЭ по математике)
Выполнил: Германова Елена Николаевна,
учитель математики

2.

содержание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Задачи на совместную работу
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.
Задача 4.
Задачи в которых требуется определить время
Задача 5.
Задача 6.
Задача 7.
Заключение
Литература

3.

Задачи на совместную работу.
1.Основными компонентами этого типа задач являются:
а) работа;
б) время;
в) производительность труда (работа выполненная в единицу времени).
2. План решения задачи обычно сводится к следующему:
а)принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за «1»;
б) находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. 1/t, где t
– время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая
отдельно;
в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за
то время, которое он работал;
г) составляем уравнение, приравнивая объем всей работы ( т.е. «1») к сумме
слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно
каждым из рабочих (если в условии сказано, что при совместной работе всех
рабочих выполнен весь объем работы).
3. Следует отметить, что не всегда в указанных задачах сравнивается
выполненная работа. Основанием для составления уравнения может
служить так же указанное в условии соотношение затраченного времени или
производительности труда.

4.

Задача 1.
Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный
участок шоссейной дороги за 18 дней.
В действительности же получилось так, что сначала работала только I
бригада, а заканчивала ремонт участка дороги одна II бригада,
производительность труда которой более высокая, чем первой бригады.
В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней.
Причем первая бригада в своё рабочее время выполнила 2/3 всей
работы. За сколько дней был отремонтирован участок дороги каждой
бригадой отдельно?

5.

1.
Решение 1- задачи
Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за «х» дней, а
второй – за «у» дней.
Принимая всю работу за «1», имеем:
1/x – производительность I бригады; 1/y – производительность II бригады;
1/х ×18 – часть работы, которую могла выполнить I бригада за 18 дней.
1/у ×18 – часть работы, которую могла выполнить II бригада за 18 дней.
2. Составим уравнение.
Так как обе бригады, работая совместно, могли выполнить всю работу за 18 дней,
то 1/х ×18 + 1/у × 18 = 1
Первая бригада выполнила 2/3 всей работы, значит она затратила на это 2/3x
дней, а вторая бригада выполнила 1/3 всей работы, значит она затратила на это
1/3у дней.
Так как всего было затрачено 40 дней, то можно составить уравнение: 2/3x + 1/3у
= 40
3.Составим систему уравнений и решим её:
1/х ×18 + 1/у× 18 = 1;
18(х + у) = ху;
2/3x + 1/3у = 40;
2х + у = 120;
у = 120 – 2х;
18(х + 120 – 2х) = х(120 – 2х)
18(120 – х) = 120х – 2х2
2х2 – 120х – 18х + 2160 = 0
х2 – 69х + 1080 = 0
х1 = 45
у1 = 30
х2 = 24
у2 = 72
4.Так как производительность второй бригады была выше, чем первой, то
условию задачи удовлетворяют х = 45 и у = 30.

6.

Задача 2
Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов. Если
первый мастер будет работать 9 часов, а потом его сменит второй, то
он закончит работу за 4 часа. За сколько времени может выполнить
заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

7.

Решение 2-й задачи
А – работа; k – производительность; t – время.
А
k
t
совместная работа
1
1/6
6 ч.
I мастер
9х
х
9 ч.
II мастер
4у
y
4 ч.
Составим систему:
х + у = 1/6
9х + 4у = 1
t1 = А/k = 1/1/15 = 15 ч.;
Ответ: 15 ч. и 10 ч.
t2 = 10 ч.
х = 1/5
у = 1/10

8.

Задача 3
Машинистка начала перепечатывать рукопись, через 4 часа к ней
присоединилась вторая машинистка. Проработав 8 часов, они
закончили перепечатку всей рукописи. За сколько часов каждая может
перепечатать всю рукопись, если первой на это требуется на 8 часов
больше, чем второй?
Анализ: Процесс работы, описанный в задаче, характеризуется тремя
величинами: объемом работы, временем работы и
производительностью труда.

9.

Решение 3-й задачи
Примем объем работы за «1».
Примем время, необходимое второй машинистке для перепечатывания
всей рукописи, за t (t › 0). Тогда её производительность равна 1/t стр/ч.
Время, необходимое первой машинистке на всю работу, будет на 4 часа
больше, т.е. (t + 4) часа, и её производительность равна 1/t + 4 стр/ч.
Первая машинистка работала (4 + 4) часа, а вторая только 4 часа. (По
условию к первой машинистке присоединяется вторая, значит весь
процесс работы начался раньше, и 8 часов – это время работы первой
машинистки). Получаем уравнение:
8 ×1/(t + 8) + 4×1/t = 1
Преобразовав данное уравнение при t(t + 8) ≠ 0
t2 – 4t – 32 = 0
t1 = 8
t2 = - 4
- 4< 0 не соответствует смыслу задачи.
Следовательно, вторая машинистка затратила на перепечатку рукописи 8
часов, а первая, соответственно 16 часов.
Ответ: 16 ч. и 8 ч.

10.

Таблица решения 3-й задачи
Норма
Факти
чески
Субъект
Произво
ди
тельность
I машинистка
1/t + 4
IIмашинистка
1/t
I машинистка
1/t + 4
Вре
мя
Объем
работы
t+4
1
t
1
8
8 ×1/(t + 4)
8/(t + 4) + 4/t=1
IIмашинистка
1/t
4
4×1/t

11.

ЗАДАЧА 4
Два подъемных крана, работая вместе,
разгрузили баржу за 6 часов. За какое время
может разгрузить баржу каждый кран, работая
отдельно, если один из них может разгрузить её
на 5 часов скорее, чем другой?

12.

Решение 4-й задачи
А = k×t
A
k
t
Совместная
работа
I кран
1
1/6
6 ч.
1
1/x
x ч.
II кран
1
1/x+5
(x + 5) ч.
Составим уравнение:
1/x + 1/x+5 = 1/6
x2 – 7x – 3 = 0
x1 = 10, x2 = - 3 < 0
10 ч. – разгрузит один кран.
10 + 5 = 15
Ответ: 10 ч. и 15 ч.
разгрузит другой кран

13.

Задача 5
Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении
нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив
производительность труда, предприятие стало изготавливать в
месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один
месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на
30 насосов. На протяжении скольких месяцев было
предусмотрено выпустить 6000 насосов?

14.

Решение 5-й задачи
Пусть за «х» месяцев было предусмотрено выполнение планового
задания. Тогда за (х – 1) месяцев было выпущено 6030 насосов. В месяц
по плану предприятие должно было выпускать 6000/x насосов, а
фактически выпустило в месяц 6030/x – 1 насосов.
Из условия задачи следует уравнение:
6030/(x – 1) - 6000/x = 70
7х2 – 10х – 600 = 0
х1 = 10
х2 = - 60/7 ( не удовлетворяет условию задачи)
Ответ: 10 месяцев.

15.

Задача 6
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа. Одна
первая труба может наполнить бассейн на 2,5 часа
быстрее, чем одна вторая труба. За сколько часов
может наполнить бассейн одна первая труба?

16.

Решение
6-й
задачи
Пусть первая труба заполнит бассейн за «х» часов, а вторая – за
«у» часов. Примем вместительность бассейна за «1». Тогда за 1
час первая труба заполняет 1/x часть бассейна, а вторая - 1/у.
Вместе обе трубы за 1 час заполняют (1/x + 1/у) часть бассейна.
По условию первая труба заполняет бассейн нам 2,5 часа
быстрее, отсюда у = х + 2,5
За 1 час обе
трубы заполняют 1/3 часть бассейна, тогда 1/x + 1/у = 1/3
Составим систему уравнений:
у = х + 2,5
1/x + 1/у = 1/3
у = х + 2,5
3(х + у) = ху
2х2 – 7х – 15 = 0
х1 = 5
х2 = - 3/2 (по смыслу задачи х >0)
Ответ: 5 часов.

17.

Задача 7
Из трех труб, открытых одновременно бассейн
наполняется за 3 часа 45 минут. Одна первая труба
наполняет бассейн в 2,6 раза быстрее, чем вторая
труба, а та наполняет бассейн на 3 часа медленнее,
чем третья. За сколько часов наполняет бассейн
третья труба?

18.

Анализ 7-й задачи
В этой задаче «работают» три участника,
используются понятия «быстрее» и «медленнее».
Необходимо перевести их на язык «больше –
меньше».
Получаем: «Время, необходимое первой трубе, в
2,6 раз меньше, чем время, необходимое второй
трубе».
«Время работы второй трубы на 3 часа больше, чем
время работы третьей трубы».

19.

Решение 7-й задачи
Приведем решение этой задачи в виде таблицы.
Субъект
Производительность
Время
Объ
ем
рабо
ты
Норм
а
I труба
II труба
III труба
1/(t + 3)÷2,6
1/t + 3
1/t
(t + 3):2,6
t+3
t
1
1
1
Факти
чески
I труба
II труба
III труба
2,6/ t + 3
1/t + 3
1/t
15/4
15/4
15/4
Ответ: за 15 часов.
1
(2,6/ t+ 3 +1/t+ 3+1/t)×15/4 =
1

20.

Заключение
Приведенные рассуждения не обязательны для записи во время
экзамена. Они являются своеобразным конспектом, который
поможет в конкретной ситуации при решении подобных задач.
Как известно текстовые задачи относятся ко 2 части ЕГЭ. Их
решение не вносится в чистовик, и оформление решения не
проверяется. Поэтому для себя обычно достаточно сделать лишь
некоторые пометки. Здесь рекомендуется составлять таблицы, в
которых заносятся данные величины, а так же выражения,
возникающие по ходу рассуждений.

21.

Литература
1.Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика ЕГЭ. Эффективная подготовка. Издательство
«Экзамен». Москва 2008.
2. ЕГЭ 2007. Математика Реальные тесты и ответы. Фолио.
3. Математика ЕГЭ-2008. Вступительные испытания. Под. Ред. Ф.Ф. Лысенко
Издательство «Легион». Ростов-на-Дону 2008.
4. Садовничий Ю.В. Алгебра. Конкурсные задачи с решениями. Учебное пособие.
Издательство«Экзамен». Москва 2007.
5. Математика. Готовимся к ЕГЭ. Тренировочные тематические задания
повышенной сложности. Составители: Г.И. Ковалева и др. Издательство
«Учитель» Волгоград 2008.
6. Математика. Готовимся к ЕГЭ. Решение задач и выполнение заданий с
комментариями и ответами. Составители: В.Н. Студенецкая, З.С. Гребнева
Издательство «Учитель» Волгоград 2007.
7. Математика 11 класс. ЕГЭ. Составитель М.Б. Буданцева. Издательство Творческий
центр. Сфера. Москва 2007.