Свойства числовых неравенств (8 класс)

1.

Свойства
числовых
неравенств
(8 класс)

2.

Свойства числовых неравенств
Свойства:
1) если а>b, b>с, то а>с
Например:
1) если 5>3, 3>-4, то 5>-4
2) если а>b, то а+с >b+с
2) если 5>3, то 5+2 >3+2
3) если а>b и m>0, то
аm>bm
3) если 5>3 и 10>0, то
5·10>3·10, т.е. 50>30
4) если а>b и m<0, то
аm<bm
4) если 5>3 и -2<0, то
5·(-2)< 3·(-1), т.е. -10<-3
5) если а>b, то -а<-b
5) если 5>3, то -5<-3

3.

Свойства числовых неравенств
6) если а>b, с>d, то
а+с>b+d
6) если 5>3, 4>2, то
5 + 4 > 3 + 2, т.е. 9>5
7) если а>b>0 и с>d >0,
то ас > bd
7) если 5>3>0 и 4>2 >0,
то 5·4 > 3·2, т.е. 20>6
8) если а>b≥0, nєN,
то аⁿ > bⁿ
8) если 5>3≥0, 2єN,
то 5² > 3², т.е. 25 > 9
9) если а>b>0, то
1/а < 1/b
9) если 5>3>0, то 1/5<1/3

4.

Пример 3: Известно, что 2,1 < а < 2,2; 3,7 < b < 3,8. Найти
оценки для числа: а ) 2а; б ) 3b; в ) a b; г ) a b; д) а 2 ;
1
3
е) b ; ж ) ;
a
а ) 2 а;
2,1 а 2, 2; 2
3, 7 b 3,8; (-1)
3 3,7 3b 3 3,8;
2 2,1 2а 2 2, 2;
4, 2 2а 4, 4.
11, 4 3b 11,1;
в ) a b;
2,1 а 2, 2
+
3, 7 b 3, 8
5,8 a b 6,0.
д) а 2 ;
2,12 а 2 2, 22 ;
4, 41 а 2 4,84.
г ) a b;
3, 7 b 3,8; (-1)
3,7 b 3,8;
3,8 b 3,7;
2,1 а 2, 2
+
3,8 b 3,7
1, 7 а b 1,5.

5.

Пример 3: Известно, что 2,1 < а < 2,2; 3,7 < b < 3,8. Найти
оценки для числа:
е) b 3 ;
3, 7 b 3,8;
3, 73 b3 3,83 ;
50, 653 b3 54,872.
1
ж) ;
a
a b;
1 1
;
a b
2,1 а 2, 2;
1
1
1
;
2,1 a 2, 2
5 1 10
.
11 a 21

6.

a b
–
2
ab –
среднее арифметическое чисел a и b.
среднее геометрическое чисел a и b.
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел
не меньше их среднего геометрического.
a b
ab 2
Замечание:
Неравенство Коши
h ab
h
a
t
a b
t
2
b

7.

Пример 5: Сравнить числа:
a)
Решение:
a) 3 6 и 2 5;
б ) 10 и 4 11;
a 3 6;
3 6 и 2 5;
b 2 5;
3 6 3 2 3 6 6 3 2 18 6 9 72;
b 2 5 4 4 5 5 9 80.
2
a
2
2
2
72 80;
9 72 9 80;
a 2 b2 ;
a b.
б ) 10 и 4 11;
4;
10 11;
10 4 11.
2
2