Текстовые задачи ОГЭ № 21 (2 часть) и ЕГЭ профиль № 11

1.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
ОГЭ № 21 (2 часть)
и ЕГЭ профиль № 11

2.

Не секрет, что при решении текстовых задач, в которых
вводится неизвестная переменная и составляется уравнение
(или система уравнений), многие учащиеся испытывают
затруднения. Часто возникают вопросы: что взять за
неизвестную переменную, какое условие взять за основу
уравнения при решении задачи, как правильно осмыслить те
данные, которые приведены в задаче.
При решении задач удобно использовать таблицы, в
которые вносятся условия. Информация, размещенная в
таблице, позволяет конкретизировать иногда витиеватые
условия задачи, более четко в них разобраться. И на
основании заполненных ячеек таблицы составить уравнение
для решения.

3. Рассмотрим следующие типы задач:

1. Задачи на движение.
2. Задачи на движение по воде.
3. Задачи на нахождение средней скорости.
4. Задачи на производительность труда и
совместную работу.
5. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

4. Задачи на движение

Основной формулой, используемой в задачах, является
формула расстояния S=V·t
V - скорость - км/ч (м/сек).
t - время - ч(сек).
S - пройденный путь - км(м).
Рассмотрим случай, когда решение текстовой задачи
сводится к решению дробно-рационального уравнения.
В большинстве случаев за х (неизвестную переменную)
берется скорость.

5. Таблица, для заполнения условий задачи имеет вид:

V
t
S
I условие
V1
t1
S1
II условие
V2
t2
S2
Если t1> t2 на к часов.
Получаем формулу для составления уравнения: t1- t2 = к. (1)
Используя таблицу подставляем в уравнение (1) выражения
для t1 и t2 (t1 = S1:V1 ; t2 = S2:V2). Получаем дробно-рациональное
уравнение.

6. Пример Из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в

15
км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно,
что он шёл со скоростью, на 2 км/ч большей, чем второй пешеход, и
сделал в пути получасовую остановку.
Пешеход из А
Пешеход из Б
V
х
х-2
t
t1
t2
S
15
12
Корень х=-10 не удовлетворяет условию задачи. Получаем, что скорость
пешехода из А равна 6 км/ч.
Ответ : скорость пешехода из А равна 6 км/ч.

7. Задачи для самостоятельного решения.

1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с
ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей
скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода,
если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.
2. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со
скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго.
Найдите скорость первого автомобиля.
3. Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со
скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго.
Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
4. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист.
Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились
они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
5. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной
скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую
половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего
прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого
автомобилиста.
6. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а
через 90 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист
догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в
А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

8. Пример Железнодорожный со­став дли­ной в 1 км прошёл бы мимо стол­ба за 1 мин., а через тун­нель (от входа ло­ко­мо­ти­ва до

Пример
Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина
туннеля (в км)?
Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель
до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1
минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.
Ответ: 2.

9. Пример Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 63 км/ч, про­ез­жа­ет мимо иду­ще­го в том же на­прав­ле­нии

Пример
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает
мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в
метрах.

10. Пример Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 75 км/ч, про­ез­жа­ет мимо пе­ше­хо­да, иду­ще­го па­рал­лель­но путям со

Пример
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

11. Задачи для самостоятельного решения.

1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо
пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе
со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода,
идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу
поезду, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
3. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же
места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда
одному из них оставалось 7 км до окончания первого круга, ему сообщили, что
второй бегун пробежал первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость
первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

12. Задачи на нахождение средней скорости.

V
t
S
I условие
V1
t1
S1
II условие
V2
t1
S2

13. Пример Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую – со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость

автомобиля на протяжении всего пути.
Возьмем весь путь равным 2 S.
I половина
II половина
Ответ : 52,8 км/ч.
V
36
99
t
t1
t1
S
S
S

14. Задачи для самостоятельного решения.

1. Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км
— со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч.
Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
2. Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100
км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч.
Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
3. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а
вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути.

15. Задачи на движение по воде.

В задачах при движении по воде используются четыре вида скорости.
Собственная скорость (лодки, катера, теплохода…).
Скорость течения реки.
Скорость по течению реки.
Скорость против течения реки.
Скорость по озеру = скорости лодки.
Скорость плота = скорости течения реки.
За неизвестную переменную принимают скорость течения реки или скорость
лодки, а именно то, что нужно найти в задаче. Берем за х (ед. из.) скорость
лодки, а у – скорость течения реки.
По течению реки
Против течения реки
По озеру
Стоянка
V
х+ у
х- у
х
-
t
t1
t1
t3
t4
S
S1
S2
S3
-

16. Пример Моторная лодка прошла 14 км против течения реки, а затем прошла еще 17 км по течению реки, затратив на это один час.

Найдите
скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения
реки 3 км/ч.
Пусть скорость моторной лодки х км/ч.
По течению реки
Против течения реки
V
х+ 3
х- 3
t
1
S
17
14

17. Задачи для самостоятельного решения.

18. Задачи на производительность труда и совместную работу.

Используем формулу А= V· t
V – производительность труда (единицы измерения: количество
продукции в единицу времени
t - время (единицы измерения: дни, ч, сек…).
А - выполненная работа (единицы измерения: кол-во деталей и т.д. ) или
вся работа.
Часто, когда речь идет, например, о выполнении плана, о заполнении
бассейна, о разгрузке машины и т.п., работу принимают равной 1.
I условие
II условие
V
V1
V2
t
t1
t2
А
А1
А2

19. Пример Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 10 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 60

Пример
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй
рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает
второй рабочий?
I рабочий
II рабочий
V (деталей в час)
t (часы)
А (количество деталей)
х+10
х
t1
t2
60
60

20. Задачи на совместную работу

Находим работу по формуле: А= V1 t1 + V2 t2
V1, V2– производительность труда объектов
t 1, t2 - время выполнения
А - выполненная работа

21. Пример Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая - за шесть часов. За какое время заполнится бассейн, если обе

трубы
включить одновременно?
Заполняем две таблицы.
I условие: одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая - за шесть
часов.
V
t (ч)
А
1 труба
2 труба
V1
V2
4
6
Получаем: V1=1/4 ; V2=1/6.
II условие: обе трубы работают одновременно – время одинаковое.
V
t
А
1 труба
1/4
t
1
2 труба
1/6
t
1
1

22. Пример Два грузчика, работая совместно, разгружают грузовую фуру за 8 минут. Если второй будет работать в 2 раза медленнее, а

первый – в 2 раза быстрее, то фура будет
разгружена за 10 минут. Определить время, за которое разгрузят фуру грузчики,
работая в одиночестве.
I условие: два грузчика, работая совместно, разгружают грузовую фуру за 8 минут.
V
t
А
1 рабочий
х
8
1
2 рабочий
у
8
1 рабочий
2 рабочий
V
2х
0,5у
t
10
10
А
1

23. Задачи для самостоятельного решения.

1. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление
462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер.
Сколько деталей в час делает ученик?
2. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы
выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?
3. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров
воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 130 литров она заполняет
на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров?
4. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн
за 21 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
5. Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часа, а
Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?
6. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 1,5 ч скорее,
чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а
потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет
выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для
самостоятельного выполнения данного задания?

24. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

I сплав/раствор
II сплав/ раствор
I+II
1 элемент
масса
%
m1
m3
m5 = m1 + m3
2 элемент
масса
%
m2
m4
m6 = m2 + m4
сплав
масса
МI = m1 + m2
МII =m3 + m4
M =m5+ m6 = m1 + m2+ m3 + m4
При заполнении строчки нужно учитывать следующие равенства:
Масса всего сплава состоит из суммы масс отдельных элементов МI = m1 + m2.
Сумма процентных отношений элементов в сплаве равна 100% Х+У = 100%.
Массу одного элемента можно найти умножив массу всего сплава на процентное отношение
записанное в виде десятичной дроби m1= МI∙ (Х :100), m2= МI∙ (У :100).
Масса всего сплава находится путем деления массы элемента на его процентное соотношение
МI = m1: (Х :100) или МI = m2: (У:100).

25. Пример Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих

Пример
Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго
сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
Пусть х кг масса меди содержится в I сплаве, тогда (х+4) кг меди во II сплаве.
I сплав
II сплав
I+II
медь
масса
0,05х
0,13(х+4)
(х+х+4) ∙0,1
%
5
13
10
2 элемент
масса
%
сплав
масса
х
х+4
х+х+4
Находим сколько кг меди в содержится в I и во II сплаве: 0,05х + 0,13(х+4) кг.
С другой стороны, в получившемся растворе содержится (х+х+4)∙0,1 кг меди.
Приравниваем и получаем уравнение:
0,05х + 0,13(х+4) = (х+х+4)∙0,1.
5х+13х+52=20х+40,
2х=12,
х=6.
Получаем, что 6 кг масса первого сплава. А масса третьего сплава будет равна 16 кг
(6+6+4).
Ответ : 16 кг.

26. Пример Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством

Пример
Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества.
Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
вещество
масса
0,1х
0,12х
(х+х) * у :100
I раствор
II раствор
I+II
вода
%
10
12
у
масса
%
раствор
масса
х
х
х+х
Находим сколько (ед. изм.) вещества в содержится в I и во II растворе:
0,1х + 0,12х.
С другой стороны, в получившемся растворе содержится (х + х)∙у:100 кг вещества.
Приравниваем и получаем уравнение:
0,1х + 0,12х = (х + х)∙у :100
0,22х=2х∙у∙0,01,
0,11=0,01у,
у=11.
Получаем, что 11% составляет концентрация получившегося раствора.
Ответ: 11%.

27. Задачи для самостоятельного решения.

1. Свежие фрукты содержат 95% воды, а высушенные — 22%. Сколько сухих фруктов
получится из 858 кг свежих фруктов?
2. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго
сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
3. Найдите массу 10% сплава никеля. Его получили из двух сплавов. Первый сплав содержал
5% никеля, второй — 12% никеля. Масса второго сплава была больше массы первого на 9
кг.
4. Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же
количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
5. В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
6. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации.
Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько
килограммов кислоты содержится в первом растворе?
7. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды,
получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты.
Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?