Математическое ожидание и дисперсия

1. Математическое ожидание и дисперсия

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
И ДИСПЕРСИЯ

2.

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз
измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение.
•V1=10км/ч; V2=11км/ч; V3=12км/ч; V4=13км/ч; V5=10км/ч;
•V6=12км/ч; V7=11км/ч; V8=10км/ч; V9=12км/ч; V10=13км/ч;
10 11 12 13 10 12 11 10 12 13
11,4
10
Как связано среднее значение с функцией распределения?

3.

Пример. Будем кидать игральный кубик большое количество раз.
Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске,
является случайной величиной и может принимать любые натуральные
значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков,
подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной,
однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу –
математическому ожиданию M x . В данном случае M x = 3,5.

4.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях
1 раз выпало 1 очко, 2 раз – 2 очка и так далее. Тогда
При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко,
Отсюда

5.

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной
величины x , то есть знаем, что случайная величина x может принимать
значения x 1, x 2, ..., x k
с вероятностями
p 1, p 2,
..., p k .
Математическое ожидание M x случайной величины x равно
Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как
< x >. Записи < x > и M x эквивалентны.

6. ПРИМЕР

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть
задан следующей таблицей:
1
2
3
0
0.2
0.8
Найти математическое ожидание
Значит,
Ответ. 2,8.

7.

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения
случайной величины от её математического ожидания:
Используя вероятности p i того, что величина x принимает значения x i , эту формулу
можно переписать следующим образом:
Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень
квадратный из дисперсии этой величины:

8. ПРИМЕР

• В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и
среднеквадратическое отклонение случайной величины x .
• Имеем: D x = 0 • (1 – 2,8) 2 + 0,2 • (2 – 2,8) 2 + 0,8 • (3 – 2,8) 2 =
0,16.
• Ответ. 0,16, 0,4.

9. ПРИМЕР

• Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с
первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и
среднеквадратичное отклонение.
• Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет
выглядеть так:
1
2
3
4
5
6
1\6
1\6
1\6
1\6
1\6
1\6
• Математическое ожидание M x = 3,5 ( пример в начале параграфа).

10.

• С вероятностью 1/2 случайная величина x ≤ 3. С такой же
вероятностью x ≥ 4. Таким образом, медианой случайной величины
является любое число из интервала (3; 4). Обычно в качестве медианы
указывают среднее значение из этого интервала: x 1/2 = 3,5. В нашем
случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других
распределениях это не так.
• Дисперсия:
• Среднеквадратичное отклонение Видно, что отклонение величины от
среднего значения очень велико.

11. Свойства математического ожидания

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
• Математическое ожидание суммы независимых случайных величин
равно сумме их математических ожиданий:
M x + y = M x + M y.
• Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
M x · y = M x · M y.

12. ПРИМЕР

• Найти математическое ожидание суммы и произведения очков,
выпавшей на двух кубиках.
• В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M ( x ) = 3,5. Значит,
для двух кубиков
M x + y = M x + M y = 7,
M xy = M x · M y = 3,5 2 = 12,25.

13. Свойства дисперсии

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ
• Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме
дисперсий:
D x + y = D x + D y.