Взаимное расположение прямой и окружности

1.

8 класс
Геометрия

2.

Задача . В треугольнике, стороны которого равны 15, 20 и 25, проведена
высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту
сторону
В
20
15
?
А
Дано : АВС , АВ 15, ВС 20,
АС 25 ВН АС ,
Найти : АН и СН
С
Н
25

3.

Задача 5 . В треугольнике, стороны которого равны 15, 20 и 25, проведена высота к его
большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону
В
20
15
?
А
Дано : АВС , АВ 15, ВС 20,
АС 25 ВН АС ,
Найти : АН и СН
С
Н
25
Заметим : АС 2 АВ 2 ВС 2
АВ 2 АН АС
252 152 202 225 400 625
625 625
АВ 2 152 225
АН
9
АС
25
25
НС 25 9 16
Вывод : В 900

4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

5. Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?

О

6. Сначала вспомним как задаётся окружность

B
D
Окружность (О, r)
О
A
r
r – радиус
С
АВ – хорда
CD - диаметр

7. Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в первом случае:

Первый случай:
А
Н
В
d
d<r
r
О
две общие точки
АВ – секущая
d – расстояние от центра окружности до прямой

8. Второй случай:

d=r
одна общая точка
АВ – касательная
А
Н
В
d
r
О
d – расстояние от центра окружности до прямой

9. Третий случай:

H
d>r
d
r
О
не имеют общих точек
d – расстояние от центра окружности до прямой

10. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?

H
А
Н
В
d
d
r
О
d<r
две общие
точки
Если расстояние от
центра окружности
до прямой меньше
радиуса
окружности, то
прямая и
окружность имеют
две общие точки.
d
r
О
d=r
одна общая
точка
Если расстояние
от центра
окружности до
прямой равно
радиусу
окружности, то
прямая и
окружность
имеют только одну
общую точку.
r
О
d>r
не имеют
общих точек
Если расстояние от
центра окружности до
прямой больше радиуса
окружности, то прямая
и окружность не имеют
общих точек.

11. Касательная к окружности

Определение: Прямая,
имеющая с
окружностью только
одну общую точку,
называется
касательной к
окружности, а их
общая точка
называется точкой
касания прямой и
окружности.
M
m
s=r
O

12. Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если:

• r = 15 см, s = 11см
• r = 6 см, s = 5,2 см
• r = 3,2 м, s = 4,7 м
• r = 7 см, s = 0,5 дм
• r = 4 см, s = 40 мм
• прямая – секущая
• прямая – секущая
• общих точек нет
• прямая – секущая
• прямая - касательная

13. Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

m – касательная к
окружности с
центром О
М – точка касания
OM - радиус
m OM
M
m
O

14. Свойство касательных, проходящих через одну точку:

▼ По свойству касательной
Отрезки касательных к
1 90o , 2 90o.
окружности, проведенные
из одной точки, равны и
∆АВО, ∆АСО–прямоугольные
составляют равные углы
∆АВО=∆АСО–по гипотенузе
с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.
и катету:
В
1
О
3
4
2
С
А
ОА – общая,
ОВ=ОС – радиусы
АВ=АС и
3 4
▲

15. Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она

является
касательной.
M
окружность с центром О
радиуса OM
m – прямая, которая проходит
через точку М
и
m OM
m – касательная
m
O

16.

Решение задач

17.

№ 1.
Дано: Окр. О, r , АВ касательная
ОА 2см, r 1,5см
Найти: АВ
B
?
1,5
О
2
А

18.

1. Рассмотрим АОВ- прямоугольный(?)
2.
AB 2 OA 2 OB 2
AB 4 2,25 1,75
B
?
1,5
О
2
А

19.

№ 2.
Дано:
Найти:
Окр. О, r АB, АС- касательные
ВАС
B
4,5
?
О
К
С
А

20.

-ки АОВ и АОС - равны(?) →
1. Рассмотрим
2. BАО= САО
3. BАО и BАО - прямоугольные (?)
4. ОВ =4,5 ОА=9 → (?)
5. BАС= 60
B
4,5
?
О
К
С
А

21.

№ 3.
Дано:
Найти:
АВ
Окружность
АВ касательная
B
?
12
600
О
А

22.

АВ 2 ОА 2 ОВ 2
АВ
24 2 12 2 12 3
tg A
OB
AB
1
12
AB
3
AB 12 3
B
?
12
600
О
А

23.

Домашнее задание

24.

Дано:
Найти:
Окружность
АВ касательная, АО 4см
ОВ
А
B
С
О

25.

Дано:
Найти:
Окружность
АВ касательная
радиус
B
А
О

26.

Окружность, R 6
АВ касательная, ОА ОВ
ОА
Дано:
Найти:
А
16
О
B