Основы теории вероятности. Основные понятия и определения

1.

Основы теории
вероятности
Основные понятия и
определения

2.

Человечество всегда стремилось к некоторого рода
предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако
предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы
обоснованным оно не казалось. У нас не может быть абсолютной
уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто
опытом.

3.

В современном мире автоматизации производства
теория вероятности(Т.В) необходима специалистам
для решения задач, связанных с выявлением
возможного хода процессов, на которые влияют
случайные факторы(например, ОТК: сколько
бракованных изделий будет изготовлено).

4.

Определение1: Под случайным событием
понимается всякое явление, о
котором имеет смысл говорить, что
оно происходит или не происходит.
Событиями являются результаты различных опытов, измерений, наблюдений.

5.

Примеры:
1)Из ящика с разноцветными шарами наугад вынимают
черный шар.
2)При бросании игральной кости выпала цифра 3.
3)При телефонном вызове абонент оказался занят.
4)Выпадение герба при бросании монеты.

6.

Определение2: Достоверным назовем событие
которое обязательно произойдет при
выполнении определенных условий
(Например, при подбрасывании
кости выпадет число, меньшее 7).
Определение3: Невозможным назовем событие
которое не происходит при
выполнении определенного
количества условий
(Например, при подбрасывании
кости выпало 8).
Случайные события обозначаются большими латинскими буквами A, B, C,…

7.

Определение4: Два события называются
несовместными, если появление
одного из них исключает появление
другого. В противном случае
события называются
совместными.
Примеры:
Испытание- 1 подбрасывание кости
А- выпало 3, В-выпало 5 ;
С-выпало четное число, D-выпало
число, кратное 3.

8.

Примеры:
1) При подбрасывании монеты появление цифры
исключает одновременное появление герба:
А появление
В появление
гербаГ ,
решкиР,
несовместные
события.
2) Есть билет лотереи «Русское лото»:
А билет
В билет
выиграшный ,
невыигрышный ,
несовместн ые
события .

9.

Оказывается, что при многократном повторении опыта
частота события принимает значения, близкие к некоторому
постоянному числу. Например, при многократном бросании
игральной кости частота выпадения каждого из чисел очков
от 1 до 6 колеблется около числа 1
6
Многократно проводились опыты бросания однородной
монеты, в которых подсчитывали число появления «герба», и
каждый раз, когда число опытов достаточно велико, частота
1
события «выпадения герба» незначительно отличалась от 2
для наглядности рассмотрим таблицу результатов,
полученных в 18 веке французским естествоиспытателем
Жоржем Луи Леклерк Бюффоном(1707 – 1788) и в начале 20
века – английским статистиком Карлом Пирсоном(1857 –
1936).

10.

Число
бросаний
Число
выпадений
герба
Частота
Ж. Бюффон
4040
2048
0,5080
К. Пирсон
12000
6014
0,5016
К. Пирсон
24000
12012
0,5006
Экспериментатор

11.

Если возможные исходы (результаты) опыта являются событиями
несовместными, достоверными, то каждый из результатов испытания назовем
элементарным исходом. Те элементарные исходы, при которых
интересующее нас событие наступает назовем благоприятствующими этому
событию исходами.
Определение5 : (классическое определение вероятности)
Вероятностью события А называется
отношение числа m элементарных
исходов, благоприятствующих этому
событию, к общему числу
равновероятных элементарных исходов
испытания n.
m
Обозначение:
p P( А)
n

12.

Свойства
10. 0 P (a ) 1.
20. Для достоверного события m=n и P(a)=1.
30. Для невозможного события m=0 и P(a)=0.

13.

Задачи по теме:
«Вероятность. Понятие события
и вероятности события»

14.

1. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад
вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый
шар окажется черным?
Решение:
Количество всех возможных результатов n=3+9=12.
Опытов, в результате которых может быть вынут
черный шар m=3.
m 3 1
P( А) 1.
n 12 4
Ответ:
0, 25

15.

2. Брошена игральная кость. Какова вероятность событий:
А- выпало 1 очко; В- выпало 2 очка?
Решение:
Количество всех возможных результатов n=6 (все грани).
а) Количество граней, на которых всего 1 очко m=1:
1
P( A) 1,
6
б) количество граней, на которых всего 2 очка m=1:
1
Ответ:
6
и
1
6
1
P( В) 1.
6

16.

3. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность событий: Авыпадения в сумме не менее 9 очков; В- выпадения 1 очка по
крайней мере на одной кости?
Решение:
I
II
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Получили, что возможно n=36 результатов испытаний

17.

Для события А получаем:
I
II
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
m=10:
10 5
P( A) 1,
36 18
5
6

18.

Для события В получаем:
I
II
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
m=11:
Ответ:
5
11
;
.
18
36
11
P ( В ) 1.
36
5
6

19.

4. Монета брошена 2 раза. Какова вероятность события:
А- выпадет одновременно два герба?
Решение:
Сколько всего возможно результатов опыта?
ГГ,
ГР,
РГ,
РР
Таким образом, всего возможно результатов n=4, нас
интересующий результат возможен только один раз m=1,
поэтому
m 1
P ( A) .
n 4
Ответ: 0,25

20.

5. Набирая номер телефона вы забыли последнюю цифру и
набрали её наугад. Какова вероятность того, что набрана
нужная вам цифра?
Решение:
Сколько всего цифр? n=10
Вы забыли только последнюю цифру, значит m=?
Тогда,
Ответ:
P( А)
0,1
m 1
0,1 1.
n 10

21.

6. Из слова «математика» выбирается наугад одна буква.
Какова вероятность того, что это будет буква «м»?
Решение:
n – количество букв в слове, а m - количество нужной нам
буквы «м».
m
2
P ( А) 0,2 1.
n 10
Ответ:
0,2

22.

7. В коробке имеется 3 кубика: чёрный, красный и белый.
Вытаскивая кубики наугад, мы ставим их последовательно
друг за другом. Какова вероятность того, что в результате
получится последовательность: красный, чёрный, белый?
Решение:
Сколько всего возможно результатов опыта? n=6
Пусть Ч – черный кубик, К – красный кубик, Б – белый
кубик, тогда
ЧКБ, ЧБК, БЧК, БКЧ, КЧБ, КБЧ.
P ( А)
1
Ответ:
6
m 1
1.
n 6

23.

24.

8. В мешке 50 деталей, из них 5 окрашено. Наугад вынимают одну деталь.
Найти вероятность того, что данная деталь окрашена.
Решение:
Сколько всего возможно результатов опыта? Сколько можно вынуть
деталей и окрашенных, и неокрашенных?
n=50
Из них можно вынуть только 5 окрашенных деталей, поэтому
m=5
Таким образом, получаем:
m 5
1
P ( A) 1.
n 50 10
Ответ:
0,1

25.

9. Из урны, в которой находится 4 белых, 9 чёрных и 7 красных шаров,
наугад вынимают один шар. Какова вероятность событий: А- появление
белого шара; В- появление чёрного шара; С- появление красного шара; Dпоявление зелёного шара?
Решение:
Количество всех возможных результатов n=4+9+7=20.
Опытов, в результате которых может быть вынут белый шар m=4.
P ( А)
m
4
1
1.
n
20
5
Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=9.
P( В)
m
9
1.
n
20
Опытов, в результате которых может быть вынут красный шар m=7.
m
7
1.
n
20
Опытов, в результате которых может быть вынут зеленый шар m=0 и P(D)=0.
P (С )
Ответ:
1 9 7
,
,
, 0.
5 20 20

26.

История
развития теории
вероятностей

27.

Возникновение теории
вероятностей как науки относят
к средним векам и первым
попыткам математического
анализа азартных
игр (орлянка, кости, рулетка).
Эти игры с незапамятных времен
создавались рядом поколений
именно так, чтобы в них исход опыта
был независим от поддающихся
наблюдению условий опыта, был
чисто случайным. Самое слово
«азарт» (фр. «le hazard») означает
«случай».

28.

Этап 1. Предыстория теории
вероятностей
Лука Пачиоли
Никколо Тарталья

29.

• Схемы азартных игр дают исключительные по простоте и прозрачности
модели случайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливой форме
наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы; а
возможность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает
экспериментальную проверку этих законов в условиях действительной
массовости явлений. Вплоть до настоящего времени примеры из области
азартных игр и аналогичные им задачи широко употребляются при
изучении теории вероятностей как упрощенные модели случайных
явлений, иллюстрирующие в наиболее простом и наглядном виде
основные законы и правила теории вероятностей.

30.

Этап 2. Возникновение теории
вероятностей как науки

31.

• Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова
относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623
- 1662), Ферма (1601 - 1665) и Гюйгенса (1629 - 1695) в области теории
азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные
понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены
их основные свойства и приемы их вычисления. Непосредственное
практическое применение вероятностные методы нашли, прежде всего, в
задачах страхования.
Христиа́ н Гю́йгенс -
нидерландский математик
Блез
Паска́ ль - французски

32.

Задача де Мере
1) При 4-кратном бросании двух игральных костей что
происходит чаще: выпадут две шестерки хотя бы один
раз или же две шестерки не появятся ни разу?
2) Как разделить ставки между игроками, когда они
прекратили игру, не набрав необходимого для
выигрыша числа очков?

33.

Решение задачи де Мере Блезом Паскалем
Задача 1.1
Подбрасывание одной кости четыре раза.
Общее число случаев при четырёх бросаниях:
6 * 6 * 6 * 6=64=1296.
Число шансов не появления хотя бы одной шестерки:
5 * 5 * 5 * 5=54 =625.
Число шансов появления хотя бы одной шестерки:
1296-625=671,
т.е. больше половины от общего числа бросаний.
Вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех
бросаниях кости:
671/1296≈0,5177469 > 1/2.

34.

Этап 3. Формирование основ теории
вероятностей

35.

• Крупный шаг вперед в
развитии теории
вероятностей связан с
работами Якова
Бернулли (1654 1705). Ему
принадлежит первое
доказательство одного
из важнейших
положений теории
вероятностей – так
называемого закона
больших чисел.

36.

Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Муавра
(1667 - 1754). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего
случая обосновал своеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных
явлениях: так называемый нормальный закон (иначе – закон Гаусса).
Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят в
теории вероятностей общее название «центральной предельной теоремы».
Абрахам де
Муавр — английский математик французского происхождения.

37.

• Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей
принадлежит знаменитому математику Лапласу (1749 - 1827).
Он впервые дал стройное и систематическое изложение основ
теории вероятностей, дал доказательство одной из форм
центральной предельной теоремы и развил ряд замечательных
приложений теории вероятностей к вопросам практики, в
частности, к анализу ошибок наблюдений и измерений.
Пьер-Симо́ н Лапла́ с —
выдающийся французский математик

38.

Значительный шаг в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777
- 1855), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и
разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под
названием «метод наименьших квадратов». Следует также отметить работы
Пуассона (1781 - 1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму
закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к
задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения,
играющий большую роль в теории вероятностей и её приложениях.
Карл Фридрих Гаусс
- выдающийся немецкий математик,
астроном и физик.
Симеон Дени Пуассон - французский математик, физик,
механик.

39.

Покупайте лотерейные билеты!
В случае выигрыша билета с одним числом вознаграждение в 15
раз больше стоимости билета.
Задача «Генуэзская лотерея»
В случае выигрыша билета с двумя числами – в 270 раз больше!
При выигрыше билета с тремя числами – в 5 500 раз больше!
Если выиграет билет с четырьмя числами – в 75 000 раз больше!
В случае выигрыша билета с пятью числами - в 1 000 000 раз
больше стоимости билета!!!

40.

Задача «Генуэзская лотерея»
Вероятности выигрыша.
Покупка билета с одним числом
Число возможных исходов:
из них благоприятных:
Вероятность выигрыша:

41.

Задача «Генуэзская лотерея»
Вероятности выигрыша:
Покупка билета с двумя числами
Число возможных исходов:
из них благоприятных:
Вероятность выигрыша:

42.

Задача «Генуэзская лотерея»
Вероятности выигрыша.
Покупка билета с тремя числами
Число возможных исходов:
из них благоприятных:
Вероятность выигрыша:

43.

Задача «Генуэзская лотерея»
Вероятности выигрыша.
Покупка билета с четырьмя числами
Число возможных исходов:
из них благоприятных:
Вероятность выигрыша:

44.

Задача «Генуэзская лотерея»
Вероятности выигрыша.
Покупка билета с пятью числами
Число возможных исходов:
из них благоприятных:
Вероятность выигрыша:

45.

• Для всего XVIII и начала XIX
века характерны бурное
развитие теории вероятностей
и повсеместное увлечение ею.
Теория вероятностей
становится «модной» наукой.
Её начинают применять не
только там, где это
применение правомерно, но и
там, где оно ничем не
оправдано. Для этого периода
характерны многочисленные
попытки применить теорию
вероятностей к изучению
общественных явлений, к так
называемым «моральным»
или «нравственным» наукам.

46.

• Во множестве появились работы, посвященные вопросам
судопроизводства, истории, политики, даже богословия, в которых
применялся аппарат теории вероятностей. Для всех этих
псевдонаучных исследований характерен чрезвычайно упрощенный,
механистический подход к рассматриваемым в них общественным
явлениям. На теорию вероятностей стали смотреть как на науку
сомнительную, второсортную, род математического развлечения,
вряд ли достойный серьезного изучения.

47.

• В это время в России создается та знаменитая Петербургская
математическая школа, трудами которой теория вероятностей была
поставлена на прочную логическую и математическую основу и сделана
надежным, точным и эффективным методом познания. Со времени
появления этой школы развитие теории вероятностей уже теснейшим
образом связано с работами русских, а в дальнейшем – советских ученых.

48.

• Среди учеников
Петербургской
математической школы
следует назвать В. Я.
Буняковского (1804 1889) – автора первого
курса теории
вероятностей на
русском языке,
создателя современной
русской терминологии
в теории вероятностей,
автора оригинальных
исследований в
области статистики и
демографии.

49.

• Учеником В. Я. Буняковского был великий русский математик П. Л.
Чебышев (1821 - 1894). Среди обширных и разнообразных
математических трудов П. Л. Чебышева заметное место занимают его
труды по теории вероятностей. П. Л. Чебышеву принадлежит
дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме
того, П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и
плодотворный метод моментов.

50.

Этап 4. Становление теории вероятностей на
прочную логическую и математическую основу

51.

Учеником П. Л. Чебышева был А. А. Марков (1856 1922), также обогативший теорию вероятностей
открытиями и методами большой важности. А. А.
Марков существенно расширил область применения
закона больших чисел и центральной предельной
теоремы, распространив их не только на
независимые, но и на зависимые опыты. Важнейшей
заслугой А. А. Маркова явилось то, что он заложил
основы совершенно новой ветви теории вероятностей
– теории случайных, или «стохастических», процессов.
Развитие этой теории составляет основное
содержание новейшей, современной теории
вероятностей.
Учеником П. Л. Чебышева был и А. М.
Ляпунов (1857 - 1918), с именем которого
связано первое доказательство
центральной предельной теоремы при
чрезвычайно общих условиях. Для
доказательства своей теоремы А. М.
Ляпунов разработал специальный метод
характеристических функций, широко
применяемый в современной теории
вероятностей.

52.

• Характерной особенностью работ Петербургской математической
школы была исключительная четкость постановки задач, полная
математическая строгость применяемых методов и наряду с этим
тесная связь теории с непосредственными требованиями практики.
Трудами ученых Петербургской математической школы теория
вероятностей была выведена с задворков науки и поставлена как
полноправный член в ряд точных математических наук. Условия
применения её методов были строго определены, а самые методы
доведены до высокой степени совершенства.

53.

Этап 5. Современный
период развития теории
вероятностей

54.

Этап 5. Современный период развития теории вероятностей

55.

Советская школа теории вероятностей,
унаследовав традиции Петербургской
математической школы, занимает в мировой
науке ведущее место.
Здесь мы назовем только некоторых крупнейших советских ученых, труды
которых сыграли решающую роль в развитии современной теории
вероятностей и её практических приложений:
С. Н. Бернштейн разработал первую законченную аксиоматику теории
вероятностей, а также существенно расширил область применения предельных
теорем.
А. Я. Хинчин (1894 - 1959) известен своими исследованиями в области
дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным
образом своими исследованиями в области так называемых стационарных
случайных процессов.
Ряд важнейших основополагающих работ в различных областях теории
вероятностей и математической статистики принадлежат А. Н. Колмогорову.
В. И. Романовский (1879 - 1954) и Н. В. Смирнов известны своими работами в
области математической статистики,
Е. Е. Слуцкий (1880 - 1948) – в теории случайных процессов, Б. В. Гнеденко – в
области теории массового обслуживания,
Е. Б. Дынкин – в области марковских случайных процессов,
В. С. Пугачев – в области случайных процессов в применении к задачам
автоматического управления.

56.

Спасибо за внимание!

57.

• За последние годы мы стали свидетелями рождения новых и
своеобразных методов прикладной теории вероятностей,
появление которых связано со спецификой исследуемых
технических проблем. Речь идет, в частности, о таких дисциплинах,
как «теория информации» и «теория массового обслуживания».
Возникшие из непосредственных потребностей практики, эти
разделы теории вероятностей приобретают общее теоретическое
значение, а круг их приложений постоянно увеличивается.

58.

«Замечательно, что наука, которая началась с
рассмотрения азартных игр, обещает стать
наиболее важным объектом человеческого
знания… Ведь по большей части важнейшие
жизненные вопросы являются на самом деле
лишь задачами из теории вероятностей».
П.Лаплас «Аналитическая теория вероятностей»